Физика · 10 класс · Физтех 2024/25 · второй тур

Задача 1. Шайба в круглом жёлобе

Условие

Небольшая шайба массой 0,20{,}2 кг безотрывно движется в вертикальной плоскости по гладкому жёлобу в форме окружности. Наибольшая и наименьшая силы, с которыми шайба действует на жёлоб в процессе движения, отличаются в 1,11{,}1 раза.

Найдите модуль наименьшей силы, с которой шайба действует на жёлоб. Ускорение свободного падения 1010 м/с². Ответ приведите в [Н] с точностью до целого значения.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 10 класс
Сезон
2024/25

Шайба давит на жёлоб то сильнее, то слабее. Подумай, где сила давления наибольшая, где наименьшая и чем они отличаются. Скорость и радиус в условии не даны — может, они и не нужны? Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба в круглом жёлобе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба в круглом жёлобе

При какой скорости силы давления внизу и вверху отличаются в k раз и чему тогда равна наименьшая из них?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй шайбу внизу и вверху жёлоба, стрелки силы тяжести и силы реакции жёлоба и запиши второй закон Ньютона вдоль радиуса в обеих точках.

Подсказка 1

Где шайба давит на жёлоб сильнее всего, а где слабее? Запиши второй закон Ньютона вдоль радиуса в нижней и в верхней точке жёлоба.

Подсказка 2

Внизу N1−mg=mv12RN_1 - mg = \dfrac{mv_1^2}{R}, вверху N2+mg=mv22RN_2 + mg = \dfrac{mv_2^2}{R}, а по закону сохранения энергии v12=v22+4gRv_1^2 = v_2^2 + 4gR. Найди разность N1−N2N_1 - N_2 — скорость и радиус из неё уйдут.

Разобрать решение по шагам
1

Сила давления в любой точке

Шайба прижимается к внешней стенке жёлоба, жёлоб давит на неё к центру с силой NN (по третьему закону шайба давит на жёлоб с такой же силой). Пусть φ\varphi — угол радиуса шайбы с вертикалью, отсчитанный от нижней точки, v0v_0 — скорость внизу. Вдоль радиуса к центру:

N−mgcos⁡φ=mv2R,v2=v02−2gR(1−cos⁡φ),N - mg\cos\varphi = \frac{mv^2}{R},\qquad v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\varphi),

поэтому N=mv02R−2mg+3mgcos⁡φN = \dfrac{mv_0^2}{R} - 2mg + 3mg\cos\varphi.

2

Наибольшая и наименьшая силы

Сила наибольшая внизу (cos⁡φ=1\cos\varphi = 1) и наименьшая вверху (cos⁡φ=−1\cos\varphi = -1):

N1=mv02R+mg,N2=mv02R−5mg,N1−N2=6mg.N_1 = \frac{mv_0^2}{R} + mg,\qquad N_2 = \frac{mv_0^2}{R} - 5mg,\qquad N_1 - N_2 = 6mg.

Разность не зависит ни от скорости, ни от радиуса. «Безотрывно» значит N2>0N_2 > 0: шайба проходит всю окружность, не отрываясь от стенки вверху.

N₁mgN₂mgвнизу: v₁вверху: v₂Внизу: N₁ − mg = mv₁²/RВверху: N₂ + mg = mv₂²/RЭнергия: v₁² = v₂² + 4gR ⇒ N₁ − N₂ = 6mg
Внизу и вверху: второй закон Ньютона вдоль радиуса и закон сохранения энергии дают N1−N2=6mgN_1 - N_2 = 6mg.
3

Ответ

N1=1,1 N2N_1 = 1{,}1\,N_2 и N1−N2=6mgN_1 - N_2 = 6mg, поэтому 0,1 N2=6mg0{,}1\,N_2 = 6mg:

N2=6mgk−1=6⋅0,2⋅100,1=120 Н.N_2 = \frac{6mg}{k - 1} = \frac{6 \cdot 0{,}2 \cdot 10}{0{,}1} = 120 \text{ Н}.

Проверка

Проверка: N1=132N_1 = 132 Н, N2=120N_2 = 120 Н, 132/120=1,1132/120 = 1{,}1, разность 12 Н=6mg12 \text{ Н} = 6mg. Такая шайба должна быть очень быстрой: mv02/R=N1−mg=130mv_0^2/R = N_1 - mg = 130 Н, при R=0,5R = 0{,}5 м это v0≈18v_0 \approx 18 м/с. Независимо: пошаговое интегрирование движения шайбы за оборот (метод Рунге — Кутты) с подбором скорости даёт 120120 Н. Другие версии: ID 3743 — 12/0,2=6012/0{,}2 = 60 Н; ID 3744 — 6/0,3=206/0{,}3 = 20 Н; ID 3745 — 6/0,4=156/0{,}4 = 15 Н.

Ответ

Nmin⁡=6mgk−1=120N_{\min} = \dfrac{6mg}{k - 1} = 120 Н.

Ответ

Nmin⁡=6mgk−1=120N_{\min} = \dfrac{6mg}{k - 1} = 120 Н.

Главная идея

Сила давления на круглый жёлоб внизу всегда на 6mg больше, чем вверху, при любой скорости и любом радиусе. Поэтому отношения сил достаточно, чтобы найти каждую.

Тело движется по вертикальной окружности, даны силы давления в разных точках — второй закон Ньютона по радиусу внизу и вверху плюс закон сохранения энергии.

Где легко ошибиться

Брать одну и ту же скорость внизу и вверху; забыть, что вверху сила тяжести направлена к центру и помогает; искать скорость или радиус, которых в условии нет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 3742 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3743, 3744, 3745) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Продолжить тему: Силы и ускорение →
Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

  • Центростремительное ускорение
  • Второй закон Ньютона в проекции на радиус
  • Закон сохранения механической энергии
  • Третий закон Ньютона

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок