Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Вектор скорости материальной точки зависит от времени по закону $\vec V = bt\,\vec i - ct^2\,\vec j$ , где $b = -1$ м/с², $c = 2$ м/с³, $\vec i$ и $\vec j$ — орты координатных осей прямоугольной системы координат, $t$ — время в [с].

Найдите модуль ускорения материальной точки в момент времени $1$ с. Ответ приведите в [м/с²] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Скорость задана формулой для любого момента — значит, ускорение можно получить прямо из неё. Подумай, как это сделать для каждой проекции. Ниже можно сверить ответ в м/с².

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГодограф скорости

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Годограф скорости

Как по закону скорости найти ускорение в момент t?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай скорость в моменты 1 с и 1,01 с, найди разность векторов и раздели её на 0,01 с.

Подсказка 1

Ускорение — это быстрота изменения скорости: $\vec a = \dfrac{d\vec V}{dt}$ . Орты $\vec i$ и $\vec j$ постоянны, поэтому каждую проекцию скорости можно дифференцировать отдельно.

Подсказка 2

$a_x = (bt)' = b$ $a_y = (-ct^2)' = -2ct$ Подставь $t = 1$ с и найди модуль вектора по теореме Пифагора.

Разобрать решение по шагам

Ускорение — производная скорости

Ускорение — скорость изменения вектора скорости: $\vec a = \dfrac{d\vec V}{dt}$ . Орты $\vec i$ и $\vec j$ от времени не зависят, поэтому дифференцируем проекции по отдельности:

a_x = \frac{d(bt)}{dt} = b,\qquad a_y = \frac{d(-ct^2)}{dt} = -2ct.

Проекция $a_x$ постоянна, а $a_y$ растёт по модулю со временем.

Как это выглядит

Отложим векторы скорости в разные моменты от одной точки. Их концы лежат на кривой — годографе скорости. Ускорение — это скорость, с которой конец вектора $\vec V$ бежит по годографу, поэтому оно направлено по касательной к нему, а не вдоль скорости.

Годограф скорости при

b = -1

м/с²,

c = 2

м/с³: ускорение в момент

1

с — касательная к нему.

Ответ

В момент $t = 1$ с: $a_x = -1$ м/с², $a_y = -2 \cdot 2 \cdot 1 = -4$ м/с². Проекции на перпендикулярные оси складываем по теореме Пифагора:

|\vec a| = \sqrt{b^2 + (2ct)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \text{ м/с}^2 \approx 4{,}1 \text{ м/с}^2.

Проверка

Проверка: за малый промежуток $\Delta t = 0{,}001$ с после момента $1$ с скорость меняется на $\Delta\vec V \approx (-0{,}001;\ -0{,}004)$ м/с, и $|\Delta\vec V|/\Delta t \approx 4{,}125$ м/с² — с уменьшением $\Delta t$ это отношение приближается к $\sqrt{17}$ Независимо: центральная разность по закону скорости даёт $4{,}1231$ м/с². Другие версии: ID 3771 — $\sqrt{9 + 16} = 5$ м/с² (ответ до целого); ID 3772 — $\sqrt{4 + 64} \approx 8{,}246 \to 8{,}2$ м/с²; ID 3773 — $\sqrt{9 + 144} \approx 12{,}369 \to 12{,}4$ м/с².

Ответ

$|\vec a| = \sqrt{b^2 + (2ct)^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}1$ м/с².

Ответ

$|\vec a| = \sqrt{b^2 + (2ct)^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}1$ м/с².

Главная идея

Ускорение — производная вектора скорости; проекции дифференцируются по отдельности: a_x = b, a_y = −2ct, модуль — по теореме Пифагора.

Скорость задана как функция времени — ускорение получается дифференцированием каждой проекции; траекторию искать не нужно.

Где легко ошибиться

Делить скорость в момент t на t (среднее ускорение от нуля вместо мгновенного); забыть множитель 2 при дифференцировании t²; складывать проекции, а не их квадраты.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 3770 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3771, 3772, 3773) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Проекции вектора на оси
Производная степенной функции
Мгновенное ускорение как производная скорости

Приёмы решения: Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →