Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска, на которой покоится брусок. К доске прикладывают горизонтальную силу $F = 2 \cdot F_0$ где $F_0$ — минимальная сила, которую следует приложить к доске, чтобы началось относительное движение бруска и доски. Доска и брусок движутся поступательно. Ускорение бруска относительно доски больше ускорения бруска относительно плоскости в $3$ раза.

Найдите отношение массы доски к массе бруска. Ответ приведите с точностью до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Сначала разберись, чему равна сила $F_0$ а потом — как движутся брусок и доска, когда силу увеличили. Коэффициент трения не дан — может, он сократится? Ниже можно сверить ответ — число с точностью до десятых.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДоска с бруском

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Доска с бруском

При каком отношении масс ускорение бруска относительно доски в q раз больше, чем относительно плоскости?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй доску и брусок, стрелку силы F на доске и стрелки силы трения на брусок (вперёд) и на доску (назад) и запиши второй закон Ньютона для каждого тела.

Подсказка 1

При какой наибольшей силе доска и брусок ещё едут вместе? Брусок разгоняет только сила трения со стороны доски, а она не больше $\mu mg$

Подсказка 2

При $F = 2F_0$ брусок скользит, его ускорение $\mu g$ Запиши второй закон Ньютона для доски и найди ускорение бруска относительно доски $a_{\text{д}} - a_{\text{б}}$ .

Разобрать решение по шагам

Сила F₀

Пока брусок не скользит, доска и брусок едут вместе с ускорением $a = \dfrac{F}{M + m}$ Брусок разгоняет только сила трения покоя, а она не больше $\mu mg$ $ma \le \mu mg$ то есть $a \le \mu g$ Скольжение начнётся при

F_0 = \mu g(M + m).

Ускорения при F = nF₀

Брусок скользит: на него действует сила трения $\mu mg$ вперёд, его ускорение $a_{\text{б}} = \mu g$ На доску та же сила трения действует назад:

Ma_{\text{д}} = n\mu g(M + m) - \mu mg.

Ускорение бруска относительно доски $a_{\text{д}} - a_{\text{б}} = \dfrac{\mu g\,(n - 1)(M + m)}{M}$ (относительно доски брусок едет назад).

Сила трения действует на брусок вперёд, на доску — назад; относительно доски брусок едет назад.

Отношение масс

По условию $a_{\text{д}} - a_{\text{б}} = q\,a_{\text{б}}$ : $\;(n - 1)\left(1 + \dfrac{m}{M}\right) = q$ — коэффициент трения сократился. Отсюда

\frac{M}{m} = \frac{n - 1}{q - n + 1} = \frac{2 - 1}{3 - 2 + 1} = 0{,}5.

Проверка

Проверка: при $M = 0{,}5m$ получаем $F_0 = 1{,}5\mu mg$ $F = 3\mu mg$ $a_{\text{б}} = \mu g$ $a_{\text{д}} = \dfrac{3\mu mg - \mu mg}{0{,}5m} = 4\mu g$ , $a_{\text{д}} - a_{\text{б}} = 3\mu g = 3a_{\text{б}}$ . Независимо: расчёт движения с трением покоя, где $F_0$ и масса доски найдены подбором, даёт $0{,}5$ Другие версии: ID 3747 — $2/(4 - 2) = 1$ ID 3748 — $3/(5 - 3) = 1{,}5$ ID 3749 — $4/(6 - 4) = 2$

Ответ

$\dfrac{M}{m} = \dfrac{n - 1}{q - n + 1} = 0{,}5$ .

Ответ

$\dfrac{M}{m} = \dfrac{n - 1}{q - n + 1} = 0{,}5$ .

Главная идея

F₀ = μg(M + m); после начала скольжения брусок разгоняется с μg, а относительно доски — с μg(n − 1)(M + m)/M. Коэффициент трения сокращается, остаётся отношение масс.

«Минимальная сила, при которой начинается относительное движение» — предельная сила трения покоя и общее ускорение μg; дальше второй закон Ньютона для каждого тела отдельно.

Где легко ошибиться

Считать F₀ = μmg (силой трения бруска), а не μg(M + m); путать ускорение бруска относительно доски с его ускорением относительно плоскости; забывать силу трения, действующую на доску.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 2, версия с ID 3746 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3747, 3748, 3749) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Сила трения покоя и скольжения
Второй закон Ньютона для системы тел
Относительное ускорение

Приёмы решения: Уравнение сил · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →