Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

В вертикальной плоскости помещён жёлоб в форме полуокружности радиуса $R$ На участке $AB$ (см. рис.) жёлоб гладкий, на участке $BC$ шероховатый. Небольшая шайба движется по жёлобу из точки $A$ с нулевой начальной скоростью. На участке $BC$ шайба движется по жёлобу с постоянной по модулю скоростью. Высота точки $B$ отсчитанная от нижней точки жёлоба, равна $h_B = a\cdot R$ где $a = 0{,}5$

Найдите коэффициент трения скольжения шайбы по жёлобу в точке $D$ которая находится на высоте $h_D = b\cdot R$ отсчитанной от нижней точки жёлоба, $b = 0{,}26$ Ответ приведите с округлением до сотых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Скорость на шероховатом участке не меняется — значит, вдоль жёлоба силы уравновешены. Подумай, чем тогда определяется трение в точке $D$ Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба в жёлобе-полуокружности

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба в жёлобе-полуокружности

Каким должен быть коэффициент трения в точке D, чтобы скорость шайбы там не менялась?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй шайбу в точке D и три силы: тяжести, реакции и трения. Запиши второй закон Ньютона вдоль жёлоба и вдоль радиуса.

Подсказка 1

С какой скоростью шайба приходит в точку $B$ Что значит «скорость постоянна по модулю» для сил вдоль жёлоба в точке $D$

Подсказка 2

Вдоль жёлоба трение $\mu N$ уравновешивает составляющую силы тяжести $mg\sin\theta$ где $\theta$ — угол радиуса $OD$ с вертикалью. Силу реакции $N$ найди из второго закона Ньютона вдоль радиуса: шайба движется по окружности со скоростью $v_B$

Разобрать решение по шагам

Скорость на шероховатом участке

На гладком участке $AB$ работает только сила тяжести: сила реакции перпендикулярна скорости. Шайба спускается с высоты $R$ (точка $A$ на уровне центра жёлоба) до высоты $aR$

v_B^2 = 2g(R - aR) = 2gR(1 - a).

На участке $BC$ скорость по модулю постоянна, поэтому в точке $D$ она та же: $v^2 = 2gR(1 - a)$

Вдоль жёлоба силы уравновешены

Пусть радиус $OD$ составляет угол $\theta$ с вертикалью. Высота точки $D$ над $C$ равна $R - R\cos\theta = bR$ поэтому

\cos\theta = 1 - b,

\sin\theta = \sqrt{1 - (1 - b)^2} = \sqrt{b(2 - b)}.

Модуль скорости не меняется — касательного ускорения нет. Составляющая силы тяжести вдоль жёлоба $mg\sin\theta$ уравновешена силой трения скольжения: $\mu N = mg\sin\theta$

Сила реакции из движения по окружности

Вдоль радиуса к центру $O$ у шайбы центростремительное ускорение $v^2/R$

N - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}.

Подставим $\cos\theta = 1 - b$ и $v^2 = 2gR(1 - a)$

N = mg(1 - b) + 2mg(1 - a) = mg(3 - 2a - b).

При $a = 0{,}5$ $b = 0{,}26$ $N = 1{,}74\,mg$ — шайба давит на жёлоб сильнее, чем весила бы в покое.

Силы в точке

D

трение уравновешивает составляющую силы тяжести вдоль жёлоба, а сила реакции вместе с

mg\cos\theta

даёт центростремительное ускорение.

Ответ

\mu_D = \frac{\sin\theta}{3 - 2a - b} = \frac{\sqrt{b(2 - b)}}{3 - 2a - b} = \frac{\sqrt{0{,}26 \cdot 1{,}74}}{1{,}74} \approx \frac{0{,}6726}{1{,}74} \approx 0{,}3866 \approx 0{,}39.

Коэффициент трения вдоль $BC$ разный: чем ниже точка, тем он меньше, а в нижней точке $C$ он равен нулю — там сила тяжести вдоль жёлоба не тянет.

Проверка

Проверка: с $\mu = 0{,}3866$ сила трения $0{,}3866 \cdot 1{,}74\,mg \approx 0{,}6726\,mg = mg\sin\theta$ — касательного ускорения нет. Радиус и масса в ответ не входят. Независимо: расчёт движения по гладкой дуге методом Рунге — Кутты и разложение сил в точке $D$ дают $0{,}3865$ Другие версии: ID 3767 — $\dfrac{\sqrt{0{,}19 \cdot 1{,}81}}{1{,}81} \approx 0{,}3240 \to 0{,}32$ ; ID 3768 — $\dfrac{\sqrt{0{,}15 \cdot 1{,}85}}{2{,}05} \approx 0{,}2570 \to 0{,}26$ ; ID 3769 — $\dfrac{\sqrt{0{,}1 \cdot 1{,}9}}{2{,}1} \approx 0{,}2076 \to 0{,}21$ .

Ответ

$\mu_D = \dfrac{\sqrt{b(2 - b)}}{3 - 2a - b} \approx 0{,}39$ .

Ответ

$\mu_D = \dfrac{\sqrt{b(2 - b)}}{3 - 2a - b} \approx 0{,}39$ .

Главная идея

Постоянная по модулю скорость — значит, вдоль жёлоба трение μN уравновешивает mg·sin θ. Скорость берём из энергии на гладком участке, силу реакции — из движения по окружности.

«Движется с постоянной по модулю скоростью» по кривой — касательного ускорения нет, вдоль траектории силы уравновешены; поперёк остаётся центростремительное ускорение.

Где легко ошибиться

Брать силу реакции N = mg cos θ, как на наклонной плоскости, и забыть центростремительное ускорение; считать коэффициент трения одинаковым на всём участке BC; путать угол θ с углом от горизонтали.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 7, версия с ID 3766 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3767, 3768, 3769) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Закон сохранения энергии
Движение по окружности: центростремительное ускорение
Сила трения скольжения
Второй закон Ньютона в проекциях на касательную и на радиус

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии · Поворот плоскости

Задать вопрос по задаче →