Физика · 10 класс · Физтех 2024/25 · второй тур

Задача 4. Жёлоб под двумя углами

Условие

В установке по изучению равномерного и равноускоренного движений можно изменять угол наклона прямого шероховатого жёлоба к горизонту. В первом эксперименте жёлоб устанавливают под углом 7∘7^\circ к горизонту, кладут в него небольшую шайбу массой 0,10{,}1 кг и сообщают ей некоторую скорость, направленную вдоль жёлоба. Шайба после этого движется поступательно и равномерно. Во втором эксперименте угол наклона жёлоба к горизонту увеличивают в 22 раза. Шайбу устанавливают в жёлоб и отпускают. Шайба движется поступательно с нулевой начальной скоростью.

Найдите модуль равнодействующей сил, приложенных к шайбе, во втором эксперименте. Ускорение свободного падения 1010 м/с². Ответ приведите в [Н] и округлите до сотых. Число π\pi считайте равным 3,143{,}14.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 10 класс
Сезон
2024/25

В первом опыте шайба едет равномерно — это многое говорит о трении. Подумай, что изменится, когда угол станет вдвое больше. Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЖёлоб под двумя углами

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Жёлоб под двумя углами

При каком коэффициенте трения шайба в первом опыте едет равномерно и какая тогда равнодействующая во втором?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй шайбу на наклонном жёлобе и силы тяжести, реакции и трения; запиши, что вдоль жёлоба они уравновешены, — получится μ = tg α.

Подсказка 1

Если шайба движется равномерно, сумма сил равна нулю. Какие силы действуют вдоль жёлоба? В какую сторону могла ехать шайба?

Подсказка 2

Из первого опыта μ=tg⁡α\mu = \operatorname{tg}\alpha. Во втором опыте вдоль жёлоба F=mgsin⁡2α−μmgcos⁡2αF = mg\sin 2\alpha - \mu mg\cos 2\alpha, а поперёк силы уравновешены.

Разобрать решение по шагам
1

Трение из первого опыта

Равномерно шайба может ехать только вниз по жёлобу: при движении вверх её тормозили бы и сила тяжести, и трение. Вдоль жёлоба силы уравновешены: составляющая силы тяжести mgsin⁡αmg\sin\alpha вниз и сила трения μN=μmgcos⁡α\mu N = \mu mg\cos\alpha вверх. Отсюда

μ=tg⁡α.\mu = \operatorname{tg}\alpha.

Для жёлоба любого сечения μ\mu здесь — отношение силы трения к mgcos⁡αmg\cos\alpha; оно одинаково при любом угле наклона.

2

Второй опыт

При угле 2α2\alpha тангенс больше: tg⁡2α>μ\operatorname{tg}2\alpha > \mu — шайба поедет из покоя. Поперёк жёлоба силы уравновешены, вдоль жёлоба остаётся

F=mgsin⁡2α−tg⁡α⋅mgcos⁡2α=mg sin⁡2αcos⁡α−sin⁡αcos⁡2αcos⁡α=mg sin⁡αcos⁡α.F = mg\sin 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \cdot mg\cos 2\alpha = mg\,\frac{\sin 2\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos 2\alpha}{\cos\alpha} = mg\,\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.

В общем виде при угле nαn\alpha: F=mgsin⁡((n−1)α)cos⁡αF = \dfrac{mg\sin\bigl((n - 1)\alpha\bigr)}{\cos\alpha}.

mgNμNFnαОпыт 1 (угол α, равномерно): mg sin α = μmg cos α ⇒ μ = tg αОпыт 2 (угол nα): F = mg sin nα − μmg cos nαF = mg sin((n − 1)α)/cos α
Силы на шайбу во втором опыте: равнодействующая направлена вниз вдоль жёлоба.
3

Ответ

F=mgtg⁡α=0,1⋅10⋅tg⁡7∘≈0,1227F = mg\operatorname{tg}\alpha = 0{,}1 \cdot 10 \cdot \operatorname{tg}7^\circ \approx 0{,}1227 Н ≈0,12\approx 0{,}12 Н. С π=3,14\pi = 3{,}14 при переводе градусов в радианы получается то же.

Проверка

Проверка: ускорение во втором опыте a=F/m≈1,23a = F/m \approx 1{,}23 м/с² — меньше gsin⁡14∘≈2,42g\sin14^\circ \approx 2{,}42 м/с², как и должно быть с трением. Независимо: векторная сумма сил с μ\mu, подобранным по равномерному движению, даёт 0,12270{,}1227 Н. Другие версии: ID 3755 — 0,1⋅10⋅sin⁡24∘/cos⁡12∘≈0,4156→0,420{,}1 \cdot 10 \cdot \sin24^\circ/\cos12^\circ \approx 0{,}4156 \to 0{,}42 Н; ID 3756 — 0,2⋅10⋅tg⁡16∘≈0,5732→0,570{,}2 \cdot 10 \cdot \operatorname{tg}16^\circ \approx 0{,}5732 \to 0{,}57 Н; ID 3757 — 0,2⋅10⋅tg⁡20∘≈0,7275→0,730{,}2 \cdot 10 \cdot \operatorname{tg}20^\circ \approx 0{,}7275 \to 0{,}73 Н.

Ответ

F=mgsin⁡((n−1)α)cos⁡α≈0,12F = \dfrac{mg\sin\bigl((n - 1)\alpha\bigr)}{\cos\alpha} \approx 0{,}12 Н.

Ответ

F=mgsin⁡((n−1)α)cos⁡α≈0,12F = \dfrac{mg\sin\bigl((n - 1)\alpha\bigr)}{\cos\alpha} \approx 0{,}12 Н.

Главная идея

Равномерное скольжение вниз по наклонной даёт μ = tg α. При большем угле равнодействующая mg·sin(nα) − μmg·cos(nα) = mg·sin((n − 1)α)/cos α.

«Тело движется по наклонной равномерно» — коэффициент трения μ = tg α; дальше второй закон Ньютона при новом угле.

Где легко ошибиться

Считать, что во втором опыте сила трения та же, что в первом (mg·sin α); забыть, что сила реакции и сила трения зависят от угла; считать синус от градусов как от радиан.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 3754 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3755, 3756, 3757) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →
Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

  • Наклонная плоскость: проекции силы тяжести
  • Сила трения скольжения
  • Первый и второй законы Ньютона
  • Формулы синуса разности

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок