Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Вектор скорости материальной точки изменяется со временем по закону $\vec V(t) = \vec V_0\left(b - \dfrac{t}{T}\right)$ , где $V_0 = 1$ м/с, постоянные $b = 2$ $T = 3$ с.

Найдите путь, пройденный материальной точкой за время от $t = 0$ до $12$ с. Ответ приведите в [м] с точностью до целого числа.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Вектор $\vec V_0$ постоянный, а множитель перед ним меняется. Подумай, что происходит с движением, когда этот множитель меняет знак, и чем путь отличается от перемещения. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТележка на прямых рельсах

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Тележка на прямых рельсах

Какой путь пройдёт точка за время от 0 до t₂?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график V(t) = V₀(b − t/T) и закрась площади над осью и под осью — их сумма и есть путь.

Подсказка 1

Вектор $\vec V_0$ не меняется — меняется только число $b - t/T$ Значит, точка движется по одной прямой. Что происходит, когда это число становится отрицательным?

Подсказка 2

Путь — это площадь под графиком модуля скорости. Построй график проекции $V(t) = V_0(b - t/T)$ от $0$ до $12$ с: он пересекает ось времени при $t = bT$

Разобрать решение по шагам

Движение по прямой с поворотом

Вектор $\vec V_0$ постоянный, от времени зависит только число $b - t/T$ Поэтому точка движется вдоль одной прямой — направления $\vec V_0$ Проекция скорости на это направление

V(t) = V_0\left(b - \frac{t}{T}\right)

убывает линейно и обращается в ноль при $t_0 = bT = 6$ с. До этого момента точка движется вперёд, после — назад.

Путь — площадь под графиком модуля скорости

Путь — это расстояние, пройденное вдоль траектории, площадь под графиком $|V(t)|$ На графике проекции скорости это два треугольника. От $0$ до $6$ с: высота $V_0b = 2$ м/с, площадь $\dfrac{2 \cdot 6}{2} = 6$ м. От $6$ до $12$ с: в момент $12$ с $V = 1 \cdot (2 - 4) = -2$ м/с, площадь треугольника под осью $\dfrac{2 \cdot 6}{2} = 6$ м.

Путь — сумма площадей над осью и под осью, перемещение — их разность.

Ответ

$S = 6 + 6 = 12$ м. Перемещение за это время равно нулю: точка ушла на $6$ м и вернулась.

В общем виде при $t_2 > bT$

S = \frac{V_0T}{2}\left(b^2 + \left(\frac{t_2}{T} - b\right)^2\right).

Проверка

Проверка: координата $x(t) = V_0\left(bt - \dfrac{t^2}{2T}\right)$ в момент $6$ с равна $6$ м (дальше точка не уходит), в момент $12$ с — $0$ туда $6$ м и обратно $6$ м. Независимо: численное интегрирование модуля скорости по формуле Симпсона даёт $12{,}000$ м. Другие версии: ID 3775 — поворот при $12$ с, $S = \dfrac{6 \cdot 12}{2} + \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 36 + 4 = 40$ м; ID 3776 — поворот ровно в конце промежутка, при $20$ с: $S = \dfrac{12 \cdot 20}{2} = 120$ м, путь равен перемещению; ID 3777 — $120 + \dfrac{6 \cdot 10}{2} = 150$ м.

Ответ

$S = \dfrac{V_0T}{2}\left(b^2 + \left(\dfrac{t_2}{T} - b\right)^2\right) = 12$ м.

Ответ

$S = \dfrac{V_0T}{2}\left(b^2 + \left(\dfrac{t_2}{T} - b\right)^2\right) = 12$ м.

Главная идея

Скорость V₀(b − t/T) меняет знак при t = bT: точка останавливается и едет назад. Путь — сумма площадей под графиком модуля скорости, а не координата в конце.

«Найдите путь», а скорость линейно убывает и может стать отрицательной — проверить момент остановки и считать путь по участкам.

Где легко ошибиться

Найти перемещение (координату в конце) вместо пути: здесь получилось бы 0; проинтегрировать скорость без модуля; не заметить, что поворот случился внутри промежутка.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 3774 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3775, 3776, 3777) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Путь и перемещение
Путь как площадь под графиком модуля скорости
Равнопеременное движение

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →