Физика · 10 класс · Физтех 2024/25 · второй тур

Задача 10. Обруч ударяется о стенку

Условие

Однородный обруч катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, модуль скорости центра масс обруча 44 м/с. Обруч абсолютно упруго сталкивается с вертикальной гладкой стенкой. Сразу после соударения угол между векторами скорости некоторой точки обруча и скорости центра масс обруча в 1,21{,}2 раза больше угла между векторами скорости этой точки и скорости центра масс обруча непосредственно до соударения.

Найдите модуль скорости этой точки сразу после соударения обруча со стенкой. Число π\pi считайте равным 3,143{,}14. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых. Обруч движется в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенке. За время соударения угловая скорость вращения обруча не изменяется.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 10 класс
Сезон
2024/25

Скорость точки обода складывается из двух векторов одинаковой длины. Подумай, какой из них меняет удар о стенку, а какой нет. Ниже можно сверить ответ в метрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОбруч и стенка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Обруч и стенка

У какой точки обода угол со скоростью центра после удара в n раз больше, чем до него, и какая у неё скорость?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй скорость центра V и скорость вращения w выбранной точки (|w| = V), сложи их, затем замени V на −V и сравни две суммы.

Подсказка 1

Скорость точки обода — сумма скорости центра V⃗\vec V и скорости вращения w⃗\vec w вокруг центра. Чему равен модуль w⃗\vec w при качении без проскальзывания? Что меняет удар о гладкую стенку?

Подсказка 2

∣w⃗∣=V|\vec w| = V, поэтому V⃗\vec V и w⃗\vec w — стороны ромба, а скорость точки — его диагональ. После удара центр движется со скоростью −V⃗-\vec V, а w⃗\vec w не меняется: скорость точки — другая диагональ того же ромба. Диагонали ромба перпендикулярны.

Разобрать решение по шагам
1

Скорость точки обода — диагональ ромба

Скорость точки обода — сумма скорости центра V⃗\vec V и скорости вращения w⃗\vec w вокруг центра; w⃗\vec w направлена по касательной к ободу. Без проскальзывания нижняя точка обруча неподвижна, поэтому ∣w⃗∣=ωR=V|\vec w| = \omega R = V.

Векторы V⃗\vec V и w⃗\vec w равны по модулю — это стороны ромба, а скорость точки u⃗=V⃗+w⃗\vec u = \vec V + \vec w — его диагональ. Диагональ ромба делит угол пополам: угол β\beta между u⃗\vec u и V⃗\vec V — половина угла между V⃗\vec V и w⃗\vec w.

2

Что меняет удар

Удар о гладкую стенку абсолютно упругий: скорость центра меняется на противоположную, V⃗′=−V⃗\vec V' = -\vec V. Вращение по условию остаётся прежним, значит, w⃗\vec w у той же точки тот же. Сразу после удара

u⃗′=−V⃗+w⃗\vec u' = -\vec V + \vec w

— это вторая диагональ того же ромба. Диагонали ромба перпендикулярны: скорость каждой точки обода при ударе поворачивается на 90∘90^\circ. Угол γ\gamma между u⃗′\vec u' и V⃗′\vec V' — угол при основании равнобедренного треугольника со сторонами VV, VV и ∣u⃗′∣|\vec u'|, и

β+γ=π2.\beta + \gamma = \frac{\pi}{2}.
Vwuu′βγV — скорость центраw — скорость вращения, |w| = Vдо удара: u = V + wпосле удара: u′ = −V + wдиагонали ромба ⟂:β + γ = 90°γ = nβ ⇒ γ = 90°·n/(n + 1)|u′| = 2V cos γ
Скорость точки до удара и после — две диагонали одного ромба, поэтому они перпендикулярны. Угол γ\gamma отсчитан от новой скорости центра −V⃗-\vec V (направление от AA к OO).
3

Ответ

По условию γ=nβ\gamma = n\beta с n=1,2n = 1{,}2:

γ=π2⋅nn+1=3,142⋅1,22,2≈0,8564 рад≈49,1∘.\gamma = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{n}{n + 1} = \frac{3{,}14}{2}\cdot\frac{1{,}2}{2{,}2} \approx 0{,}8564 \text{ рад} \approx 49{,}1^\circ.

Основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами VV и углом γ\gamma при основании:

∣u⃗′∣=2Vcos⁡γ=2⋅4⋅cos⁡0,8564≈5,24 м/с≈5,2 м/с.|\vec u'| = 2V\cos\gamma = 2 \cdot 4 \cdot \cos 0{,}8564 \approx 5{,}24 \text{ м/с} \approx 5{,}2 \text{ м/с}.

Таких точек две, они симметричны относительно вертикального диаметра: их радиусы составляют угол 2β≈81,8∘2\beta \approx 81{,}8^\circ с направлением вверх.

Проверка

Проверка: до удара угол β=90∘−γ≈40,9∘\beta = 90^\circ - \gamma \approx 40{,}9^\circ, и 49,1∘/40,9∘≈1,249{,}1^\circ/40{,}9^\circ \approx 1{,}2. Скорость той же точки до удара 2Vcos⁡β≈6,052V\cos\beta \approx 6{,}05 м/с, и 6,052+5,242≈64=(2V)26{,}05^2 + 5{,}24^2 \approx 64 = (2V)^2 — диагонали ромба со стороной VV и прямым углом между ними. Независимо: сложение векторов V⃗+w⃗\vec V + \vec w для точек обода и подбор точки делением отрезка пополам (с точным π\pi) дают 5,23895{,}2389 м/с — после округления то же. Другие версии: ID 3779 — γ=1,57⋅1,52,5=0,942\gamma = 1{,}57 \cdot \dfrac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}942, 2⋅3⋅cos⁡0,942≈3,529→3,52 \cdot 3 \cdot \cos 0{,}942 \approx 3{,}529 \to 3{,}5 м/с; ID 3780 — γ=1,57⋅2,23,2≈1,0794\gamma = 1{,}57 \cdot \dfrac{2{,}2}{3{,}2} \approx 1{,}0794, 2⋅2⋅cos⁡1,0794≈1,888→1,92 \cdot 2 \cdot \cos 1{,}0794 \approx 1{,}888 \to 1{,}9 м/с; ID 3781 — γ=1,57⋅56≈1,3083\gamma = 1{,}57 \cdot \dfrac{5}{6} \approx 1{,}3083, 2⋅1⋅cos⁡1,3083≈0,519→0,52 \cdot 1 \cdot \cos 1{,}3083 \approx 0{,}519 \to 0{,}5 м/с.

Ответ

∣u⃗′∣=2Vcos⁡(π2⋅nn+1)≈5,2|\vec u'| = 2V\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n}{n + 1}\right) \approx 5{,}2 м/с.

Ответ

∣u⃗′∣=2Vcos⁡(π2⋅nn+1)≈5,2|\vec u'| = 2V\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n}{n + 1}\right) \approx 5{,}2 м/с.

Главная идея

Скорость точки обода — диагональ ромба со сторонами V и w (|w| = V). Удар меняет V на −V, а w оставляет: скорость точки становится другой диагональю, перпендикулярной первой, поэтому β + γ = 90°.

«Катится без проскальзывания» — скорость вращения точки обода по модулю равна скорости центра; «удар о гладкую стенку, вращение не меняется» — меняется только скорость центра.

Где легко ошибиться

Считать, что после удара меняет знак и скорость вращения; путать угол между скоростью точки и скоростью центра до удара (с V) и после (с −V); брать |w| = ωR, не связав его с V.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 10, версия с ID 3778 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3779, 3780, 3781) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 16) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →
Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

  • Сложение скоростей: поступательное движение и вращение
  • Качение без проскальзывания
  • Свойства ромба: диагонали перпендикулярны и делят углы пополам

Приёмы решения: Поворот плоскости · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок