Физика · 10 класс · Физтех 2024/25 · второй тур

Задача 5. Куда уходит теплота

Условие

В квазистатическом процессе к 22 моль идеального газа с показателем адиабаты 1,671{,}67 подвели количество теплоты 44 кДж. Отношение работы, совершённой газом, к приращению внутренней энергии газа в этом процессе равно 0,80{,}8.

Найдите приращение температуры газа в этом процессе. Ответ приведите в [К] и округлите до целого значения. Универсальная газовая постоянная 8,318{,}31 Дж/(моль·К). Указание: показатель адиабаты γ=CPCV\gamma = \dfrac{C_P}{C_V}, где CPC_P — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, CVC_V — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 10 класс
Сезон
2024/25

Теплота, подведённая к газу, уходит сразу на две вещи. Подумай, какая её доля нагревает газ и как по показателю адиабаты найти теплоёмкость. Ниже можно сверить ответ в кельвинах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГаз под поршнем

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Газ под поршнем

На сколько нагреется газ, если на нагрев уходит только часть теплоты?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй полоску теплоты Q и раздели её на две части ΔU и A в отношении 1 : k.

Подсказка 1

Запиши первый закон термодинамики Q=ΔU+AQ = \Delta U + A и вырази теплоту через ΔU\Delta U: по условию A=0,8 ΔUA = 0{,}8\,\Delta U.

Подсказка 2

ΔU=νCVΔT\Delta U = \nu C_V\Delta T, а CVC_V найди через показатель адиабаты: CP=CV+RC_P = C_V + R и γ=CP/CV\gamma = C_P/C_V.

Разобрать решение по шагам
1

Доля теплоты на нагрев

Первый закон термодинамики: Q=ΔU+AQ = \Delta U + A. Работа A=k ΔUA = k\,\Delta U с k=0,8k = 0{,}8, поэтому

Q=(1+k) ΔU,Q = (1 + k)\,\Delta U,

откуда

ΔU=Q1+k=40001,8≈2222 Дж.\Delta U = \frac{Q}{1 + k} = \frac{4000}{1{,}8} \approx 2222 \text{ Дж}.
Теплота Q = 4000 ДжΔU ≈ 2222 ДжA ≈ 1778 ДжA = 0,8·ΔU, Q = ΔU + A = 1,8·ΔUΔU = νCVΔT, CV = R/(γ − 1) ≈ 12,40 Дж/(моль·К)ΔT = ΔU/(νCV) ≈ 2222/(2 · 12,40) ≈ 89,6 К
Из 44 кДж на нагрев газа идёт только 1/1,81/1{,}8 часть, остальное — работа газа.
2

Теплоёмкость из показателя адиабаты

Для идеального газа CP=CV+RC_P = C_V + R (уравнение Майера) и γ=CPCV\gamma = \dfrac{C_P}{C_V}, откуда

CV=Rγ−1=8,310,67≈12,40 Дж/(моль⋅К).C_V = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{8{,}31}{0{,}67} \approx 12{,}40 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры: ΔU=νCVΔT\Delta U = \nu C_V\Delta T в любом процессе.

3

Ответ

ΔT=ΔUνCV=Q(γ−1)νR (1+k)=4000⋅0,672⋅8,31⋅1,8≈89,58 К≈90 К.\Delta T = \frac{\Delta U}{\nu C_V} = \frac{Q(\gamma - 1)}{\nu R\,(1 + k)} = \frac{4000 \cdot 0{,}67}{2 \cdot 8{,}31 \cdot 1{,}8} \approx 89{,}58 \text{ К} \approx 90 \text{ К}.

Проверка

Проверка: при ΔT=89,58\Delta T = 89{,}58 К ΔU=2⋅12,40⋅89,58≈2222\Delta U = 2 \cdot 12{,}40 \cdot 89{,}58 \approx 2222 Дж, A=0,8⋅2222≈1778A = 0{,}8 \cdot 2222 \approx 1778 Дж, сумма 40004000 Дж. Независимо: процесс с постоянным отношением A/ΔUA/\Delta U — политропа pVs=constpV^s = \text{const} с s=1−(γ−1)/ks = 1 - (\gamma - 1)/k; численное интегрирование p dVp\,dV вдоль неё даёт 89,5889{,}58 К. Другие версии: ID 3759 — 3000⋅0,43⋅8,31⋅2≈24,07→24\dfrac{3000 \cdot 0{,}4}{3 \cdot 8{,}31 \cdot 2} \approx 24{,}07 \to 24 К; ID 3760 — 2000⋅0,674⋅8,31⋅2,5≈16,13→16\dfrac{2000 \cdot 0{,}67}{4 \cdot 8{,}31 \cdot 2{,}5} \approx 16{,}13 \to 16 К; ID 3761 — 2000⋅0,45⋅8,31⋅3≈6,42→6\dfrac{2000 \cdot 0{,}4}{5 \cdot 8{,}31 \cdot 3} \approx 6{,}42 \to 6 К.

Ответ

ΔT=Q(γ−1)νR (1+k)≈90\Delta T = \dfrac{Q(\gamma - 1)}{\nu R\,(1 + k)} \approx 90 К.

Ответ

ΔT=Q(γ−1)νR (1+k)≈90\Delta T = \dfrac{Q(\gamma - 1)}{\nu R\,(1 + k)} \approx 90 К.

Главная идея

Q = (1 + k)·ΔU: на нагрев идёт только часть теплоты. ΔU = νC_VΔT, а C_V = R/(γ − 1) находится по показателю адиабаты.

«Отношение работы к приращению внутренней энергии» — сразу Q = (1 + k)ΔU; «показатель адиабаты» — C_V = R/(γ − 1).

Где легко ошибиться

Считать, что вся теплота идёт на нагрев (ΔU = Q); брать C_V = 3R/2, не глядя на γ; путать отношение A/ΔU с обратным.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 3758 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3759, 3760, 3761) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 2 ↗). ID 3758: 90 К получается с данным в условии γ = 1,67; с точным 5/3 было бы 89 К.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →
Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

  • Первый закон термодинамики
  • Внутренняя энергия идеального газа
  • Молярные теплоёмкости C_P и C_V, уравнение Майера

Приёмы решения: Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок