Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Доска массой $2$ кг, на одном конце которой лежит небольшой брусок массой $1$ кг, движется по горизонтальной гладкой плоскости со скоростью $1$ м/с. В некоторый момент доска начинает сжимать лежащую на плоскости лёгкую пружину, которая одним концом упирается в вертикальную стену (см. рис.). Коэффициент трения скольжения бруска по доске $0{,}25$ Коэффициент жёсткости пружины $50$ Н/м. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Найдите скорость бруска и доски в тот момент, когда брусок придёт в движение относительно доски. Ответ приведите в [см/с] и округлите до целых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Пружина тормозит доску, а брусок держится на доске только трением. Подумай, в какой момент трения перестанет хватать. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДоска наезжает на пружину

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Доска наезжает на пружину

Когда брусок начнёт скользить по доске и с какой скоростью они будут ехать в этот момент?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй силы на брусок, когда пружина сжата на x, и сравни нужное ему замедление kx/(M + m) с наибольшим μg.

Подсказка 1

Пока брусок не скользит, доска и брусок тормозятся вместе. Какая сила тормозит брусок и какое наибольшее замедление она может ему дать?

Подсказка 2

Вместе они едут, пока замедление пары $\dfrac{kx}{M + m}$ не больше $\mu g$ Найди сжатие $x^*$ при котором они сравняются, и запиши закон сохранения энергии от начала сжатия до этого момента.

Разобрать решение по шагам

Пока брусок не скользит

Пружина, сжатая на $x$ давит на доску с силой $kx$ Если брусок не скользит, доска и брусок движутся как одно тело массой $M + m$ и их замедление

a = \frac{kx}{M + m}.

Оно растёт по мере того, как пружина сжимается.

Когда трения перестанет хватать

Брусок тормозит только сила трения со стороны доски: $ma = F_{\text{тр}}$ Сила трения покоя не больше $\mu mg$ поэтому вместе с доской брусок может тормозиться лишь с замедлением $a \le \mu g$ Брусок сдвинется относительно доски, когда

\frac{kx^*}{M + m} = \mu g,

то есть

x^* = \frac{\mu g(M + m)}{k} = \frac{0{,}25 \cdot 10 \cdot 3}{50} = 0{,}15 \text{ м}.

Масса бруска отдельно не важна — только сумма $M + m$

Пружина тормозит всю пару, а брусок — только трение со стороны доски. Пока его хватает, они едут вместе.

Энергия до этого момента

Пока брусок не скользит по доске, силы трения между ними в сумме работы не совершают, а плоскость гладкая. Механическая энергия сохраняется:

\frac{(M + m)v_0^2}{2} = \frac{(M + m)V^2}{2} + \frac{kx^{*2}}{2},

откуда

V^2 = v_0^2 - \frac{kx^{*2}}{M + m} = v_0^2 - \frac{\mu^2g^2(M + m)}{k}.

Ответ

$V^2 = 1 - \dfrac{0{,}0625 \cdot 100 \cdot 3}{50} = 0{,}625$ м²/с², $V \approx 0{,}7906$ м/с $\approx 79$ см/с.

Пара к этому моменту ещё едет: без проскальзывания она остановилась бы при сжатии $v_0\sqrt{(M + m)/k} \approx 0{,}245$ м, а $x^* = 0{,}15$ м меньше.

Проверка

Проверка: при $x^* = 0{,}15$ м сила пружины $kx^* = 7{,}5$ Н, замедление пары $7{,}5/3 = 2{,}5$ м/с² $= \mu g$ и бруску нужна сила $1 \cdot 2{,}5 = 2{,}5$ Н $= \mu mg$ — ровно предел. Независимо: пошаговый расчёт движения пары до этого момента даёт $79{,}06$ см/с. Другие версии: ID 3763 — $V^2 = 1 - \dfrac{0{,}0625 \cdot 100 \cdot 5}{50} = 0{,}375$ , $V \approx 61{,}24 \to 61$ см/с; ID 3764 — $V^2 = 0{,}81 - \dfrac{0{,}09 \cdot 100 \cdot 7}{100} = 0{,}18$ , $V \approx 42{,}43 \to 42$ см/с; ID 3765 — $V^2 = 0{,}81 - \dfrac{0{,}1225 \cdot 100 \cdot 9}{150} = 0{,}075$ , $V \approx 27{,}39 \to 27$ см/с. Во всех версиях брусок сдвигается раньше, чем пара остановилась бы.

Ответ

$V = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{\mu^2g^2(M + m)}{k}} \approx 79$ см/с.

Ответ

$V = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{\mu^2g^2(M + m)}{k}} \approx 79$ см/с.

Главная идея

Пара тормозится вместе, пока её замедление kx/(M + m) не превысит μg — больше трение бруску не даст. До этого момента механическая энергия сохраняется.

«Брусок придёт в движение относительно доски» — сравнить нужное бруску ускорение с наибольшим μg; пока скольжения нет, тела движутся как одно.

Где легко ошибиться

Считать, что брусок сдвинется, когда сила пружины kx станет больше μmg (сравнивать силы, а не ускорения); вычитать из энергии работу трения, хотя скольжения ещё нет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 3762 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3763, 3764, 3765) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Сила упругости, закон Гука
Трение покоя и трение скольжения
Второй закон Ньютона для системы тел
Закон сохранения механической энергии

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →