Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Брусок массой $1$ кг покоится на шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска по плоскости равен $0{,}2$ Начиная с момента времени $t = 0$ в течение $7$ с на брусок действует горизонтальная сила $\vec F$ Брусок движется поступательно. Закон зависимости силы от времени $\vec F = \vec F_0\,(b - kt)$ , где $|\vec F_0| = 1$ Н, $b = 3$ $k = 1$ [1/с], $t$ — время в [с].

Найдите наибольший модуль проекции скорости бруска за время движения. Ускорение свободного падения $10$ м/с². Ответ приведите в [м/с] с точностью до целого значения.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Сила сначала толкает брусок вперёд, потом слабеет и тянет назад. Подумай, когда брусок едет, а когда стоит, и где его скорость по модулю наибольшая. Ниже можно сверить ответ в метрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеБрусок и меняющаяся сила

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Брусок и меняющаяся сила

Когда брусок едет, когда стоит и когда модуль его скорости наибольший?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график F(t) = 3 − t и отметь на нём уровни +2 Н и −2 Н: брусок едет только там, где график выходит за эти уровни.

Подсказка 1

Брусок сдвинется, только если сила больше наибольшей силы трения покоя $\mu mg = 2$ Н. Нарисуй график $F(t) = 3 - t$ и отметь уровни $\pm 2$ Н: когда брусок может ехать вперёд, когда назад, а когда стоит?

Подсказка 2

Пока брусок едет вперёд, $mv' = (3 - t) - \mu mg$ скорость наибольшая, когда $F = \mu mg$ Назад брусок поедет, когда $F = -\mu mg$ и будет разгоняться до конца действия силы ( $t = 7$ с). Сравни эти две скорости.

Разобрать решение по шагам

Вперёд

Сила трения скольжения $f = \mu mg = 2$ Н, сила $F = 3 - t$ (в ньютонах). При $t = 0$ сила $3 > 2$ — брусок сразу едет вперёд, трение направлено назад:

mv' = 3 - t - 2 = 1 - t,\qquad v = t - \frac{t^2}{2}.

Скорость растёт, пока $F > f$ и наибольшая при $t = 1$ с: $0{,}5$ м/с. При $t = 2$ с брусок останавливается.

Покой

При $t = 2$ с сила $F = 1$ Н меньше $2$ Н — трение покоя удерживает брусок. Он стоит, пока $-2 \le F \le 2$ то есть до $t = 5$ с (тогда $F = -2$ Н).

С $t = 5$ с брусок едет назад, трение теперь направлено вперёд: $mv' = (3 - t) + 2 = 5 - t$ , $\;v = -\dfrac{(t - 5)^2}{2}$ . Модуль скорости растёт до конца действия силы: при $t = 7$ с $v = -2$ м/с. Дальше действует только трение, и брусок тормозится.

Брусок едет только там, где сила выходит из полосы ±μmg; наибольший модуль скорости — в конце действия силы.

Ответ

Наибольший модуль скорости — большее из $0{,}5$ м/с (вперёд, при $t = 1$ с) и $2$ м/с (назад, при $t = 7$ с): $2$ м/с. В общем виде это большее из $\dfrac{(b - f)^2}{2m}$ и $\dfrac{(\tau - b - f)^2}{2m}$ , где $f = \mu mg$ в ньютонах, $\tau$ — время действия силы.

Проверка

Проверка через импульс: с $5$ до $7$ с на брусок действует сила $F + f = 5 - t$ (в ньютонах), её импульс — площадь треугольника $\tfrac12 \cdot 2 \cdot 2 = 2$ Н·с, отсюда $|v| = 2$ м/с. Независимо: пошаговый расчёт с трением покоя даёт $2{,}000$ м/с. Другие версии: ID 3751 ( $f = 2$ $b = 5$ $\tau = 9$ ) — вперёд $9/2 = 4{,}5$ назад $4/2 = 2$ ответ $4{,}5$ м/с; ID 3752 ( $m = 2$ $f = 6$ $b = 11$ $\tau = 20$ ) — вперёд $25/4 = 6{,}25$ назад $9/4 = 2{,}25$ ответ $6{,}25$ м/с; ID 3753 ( $m = 2$ $f = 8$ $b = 12$ $\tau = 26$ ) — вперёд $16/4 = 4$ назад $36/4 = 9$ ответ $9$ м/с.

Ответ

$|v|_{\max} = \max\left(\dfrac{(b - f)^2}{2m},\ \dfrac{(\tau - b - f)^2}{2m}\right) = 2$ м/с.

Ответ

$|v|_{\max} = \max\left(\dfrac{(b - f)^2}{2m},\ \dfrac{(\tau - b - f)^2}{2m}\right) = 2$ м/с.

Главная идея

Брусок стоит, пока |F| ≤ μmg. Скорость вперёд наибольшая, когда F = μmg, а скорость назад растёт до самого конца действия силы — ответ — большее из двух.

Сила, меняющаяся со временем, и трение — график F(t) с полосой ±μmg: брусок едет, когда график выходит из полосы; изменение импульса — площадь между графиком и уровнем трения.

Где легко ошибиться

Считать, что брусок поедет назад сразу, как только сила сменит знак; забыть, что сила трения меняет направление вместе со скоростью; искать наибольшую скорость только при движении вперёд.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 3750 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3751, 3752, 3753) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Сила трения покоя и скольжения
Второй закон Ньютона
Импульс силы как площадь под графиком

Приёмы решения: Уравнение сил · Чтение графика и сопоставление состояний · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →