Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Шарик подвешен на легкой нити длиной $1{,}5$ м в однородном поле тяжести. Шарику сообщают (см. рис.) горизонтальную скорость $V_2 = 1{,}2 \cdot V_1$ где $V_1$ — наименьшая горизонтальная скорость, которую следует сообщить шарику, чтобы шарик двигался по окружности в вертикальной плоскости.

На какой высоте, отсчитанной от точки старта, находится шарик в тот момент, когда сила натяжения нити в $6$ раз больше силы тяжести, действующей на шарик? Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Ответ приведите в [м] и округлите до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Шарик проходит всю окружность, а нить тянет его то сильнее, то слабее. Подумай, где натяжение больше и как оно зависит от высоты. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШарик на нити

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шарик на нити

Как натяжение нити зависит от высоты шарика?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй шарик на окружности, стрелки натяжения к центру и силы тяжести вниз и запиши второй закон Ньютона вдоль нити.

Подсказка 1

Сначала найди $V_1$ шарик проходит верхнюю точку по окружности, только если нить там ещё натянута. Наименьшая скорость — когда в верхней точке натяжение обращается в ноль.

Подсказка 2

На высоте $h$ над стартом: $\cos\theta = 1 - h/l$ $v^2 = V_2^2 - 2gh$ а второй закон Ньютона вдоль нити: $T - mg\cos\theta = \dfrac{mv^2}{l}$ . Натяжение окажется линейной функцией высоты.

Разобрать решение по шагам

Наименьшая скорость V₁

В верхней точке $T + mg = \dfrac{mv_{\text{в}}^2}{l}$ и $T \ge 0$ значит, $v_{\text{в}}^2 \ge gl$ Из закона сохранения энергии $V^2 = v_{\text{в}}^2 + 4gl$ , поэтому наименьшая скорость внизу $V_1^2 = gl + 4gl = 5gl$

Натяжение на высоте h

Пусть нить отклонена от нижнего положения на угол $\theta$ шарик поднялся на $h = l(1 - \cos\theta)$ Проекция сил на нить (к центру): $T - mg\cos\theta = \dfrac{mv^2}{l}$ , а $v^2 = V_2^2 - 2gh$ Отсюда

\frac{T}{mg} = \cos\theta + \frac{V_2^2 - 2gh}{gl} = 1 - \frac{h}{l} + \frac{V_2^2}{gl} - \frac{2h}{l} = 1 + 5k^2 - \frac{3h}{l},

где $k = V_2/V_1$

Натяжение убывает с высотой линейно: внизу $1 + 5k^2 = 8{,}2$ вверху $5k^2 - 5 = 2{,}2$ (в разах $mg$ ).

Силы на высоте h: вдоль нити T − mg cos θ = mv²/l.

Высота

$T = 6mg$ $\;1 + 5 \cdot 1{,}44 - \dfrac{3h}{l} = 6$ , откуда

h = \frac{l\,(1 + 5k^2 - n)}{3} = \frac{1{,}5 \cdot 2{,}2}{3} = 1{,}1 \text{ м}.

Высота лежит между $0$ и $2l = 3$ м — такое положение на окружности есть. Шарик проходит его дважды — на подъёме и на спуске, на одной и той же высоте.

Проверка

Проверка подстановкой: при $h = 1{,}1$ м $\cos\theta = 1 - 1{,}1/1{,}5 \approx 0{,}2667$ , $v^2 = 5 \cdot 1{,}44 \cdot 15 - 22 = 86$ м²/с², $T/mg = 0{,}2667 + 86/15 = 6{,}0$ . Независимо: пошаговое интегрирование движения шарика (метод Рунге — Кутты) находит $T = 6mg$ на высоте $1{,}100$ м. Другие версии: ID 3498 — $1{,}5 \cdot (1 + 7{,}2 - 3)/3 = 2{,}6$ м; ID 3499 — $2 \cdot (1 + 20 - 15{,}6)/3 = 3{,}6$ м; ID 3500 — $3 \cdot (1 + 20 - 16{,}5)/3 = 4{,}5$ м. Во всех версиях $0 \le h \le 2l$

Ответ

$h = \dfrac{l\,(1 + 5k^2 - n)}{3} = 1{,}1$ м.

Ответ

$h = \dfrac{l\,(1 + 5k^2 - n)}{3} = 1{,}1$ м.

Главная идея

Натяжение нити убывает с высотой линейно: T/mg = 1 + 5k² − 3h/l. Наименьшая скорость V₁ = √(5gl) — из условия T = 0 в верхней точке.

Шарик на нити в вертикальной плоскости — закон сохранения энергии плюс второй закон Ньютона вдоль нити; «наименьшая скорость для движения по окружности» — нить не провисает в верхней точке.

Где легко ошибиться

Брать V₁ = √(4gl), как для шарика на стержне; забыть проекцию силы тяжести на нить; отсчитывать высоту от центра окружности, а не от точки старта.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 5, версия с ID 3497 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3498, 3499, 3500) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Закон сохранения механической энергии
Центростремительное ускорение
Второй закон Ньютона в проекции на радиус

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →