Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Вектор скорости материальной точки изменяется со временем по закону $\vec V = \vec v\,(b - ct)$ , где координаты вектора $\vec v\,(v_x, v_y, v_z)$ $v_x = 1$ м/с, $v_y = 2$ м/с, $v_z = 3$ м/с, постоянные $b = 1$ $c = 2$ 1/с, $t$ — время в секундах.

Найдите модуль перемещения материальной точки за время от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 2$ с. Ответ приведите в метрах и округлите до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Скорость всё время направлена вдоль одного и того же вектора $\vec v$ — то по нему, то против. Подумай, как движется точка и что такое перемещение за промежуток времени. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТочка движется по закону скорости

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Точка движется по закону скорости

Как движется точка между t₁ и t₂ и чему равно её перемещение?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график b − ct = 1 − 2t и закрась площадь под ним от 1 до 2 с: это множитель при векторе v.

Подсказка 1

Все скорости точки параллельны одному вектору $\vec v$ точка движется по прямой. Перемещение за промежуток времени — интеграл скорости по времени.

Подсказка 2

$\Delta\vec r = \vec v\int_{t_1}^{t_2}(b - ct)\,dt$ . Интеграл — площадь под графиком $b - ct$ с учётом знака; модуль перемещения — это $|\vec v|$ умноженный на модуль этой площади.

Разобрать решение по шагам

Точка движется по прямой

Скорость $\vec V = \vec v\,(b - ct)$ — это постоянный вектор $\vec v$ умноженный на число $b - ct$ Значит, точка всё время движется вдоль одной прямой: пока $b - ct > 0$ — по направлению $\vec v$ после $t = b/c$ — против него. В нашей версии $b/c = 0{,}5$ с, поэтому на всём промежутке от $1$ до $2$ с множитель отрицателен и точка движется против $\vec v$ не разворачиваясь.

Перемещение — интеграл скорости

Постоянный вектор выносится за знак интеграла:

\Delta\vec r = \int_{t_1}^{t_2}\vec V\,dt = \vec v\left[b(t_2 - t_1) - \frac{c}{2}\left(t_2^2 - t_1^2\right)\right] = \vec v\,\bigl[1 \cdot 1 - 1 \cdot 3\bigr] = -2\vec v.

Множитель $-2$ — площадь трапеции под графиком $b - ct$ от $1$ до $2$ с (она ниже оси, поэтому со знаком минус).

Множитель b − ct = 1 − 2t: площадь под графиком от 1 до 2 с равна −2 — точка сместилась на

-2\vec v

Модуль перемещения

$|\vec v| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$ м/с, поэтому

|\Delta\vec r| = 2\sqrt{14} \approx 7{,}48 \text{ м} \approx 7{,}5 \text{ м}.

Проверка

Проверка по средней скорости: множитель меняется линейно, поэтому его среднее значение на промежутке равно значению в середине, $1 - 2 \cdot 1{,}5 = -2$ а время — $1$ с: снова $-2\vec v$ Другие версии: ID 3482 — множитель $2 - 3 = -1$ $|\vec v| = \sqrt{29}$ $5{,}39 \to 5{,}4$ м; ID 3483 — $-2 \cdot \sqrt{50} \approx 14{,}14 \to 14{,}1$ м; ID 3484 — $4 - 8 = -4$ $4\sqrt{50} \approx 28{,}28 \to 28{,}3$ м. Во всех версиях точка не разворачивается внутри промежутка, так что перемещение здесь совпадает с путём.

Ответ

$|\Delta\vec r| = 2\sqrt{14} \approx 7{,}5$ м.

Ответ

$|\Delta\vec r| = 2\sqrt{14} \approx 7{,}5$ м.

Главная идея

Скорость всё время параллельна одному вектору: перемещение — этот вектор, умноженный на площадь под графиком числового множителя (со знаком).

Скорость задана как постоянный вектор, умноженный на функцию времени, — движение по прямой; перемещение — интеграл, то есть площадь под графиком.

Где легко ошибиться

Брать скорость в момент t₁ или t₂ вместо средней; терять знак площади и путать перемещение с путём, когда множитель меняет знак внутри промежутка.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 1, версия с ID 3481 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3482, 3483, 3484) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Скорость и перемещение как векторы
Перемещение как площадь под графиком скорости
Модуль вектора по его координатам

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →