Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Брусок массой $600$ г покоится на шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска по плоскости равен $0{,}2$ Начиная с момента времени $t = 0$ на брусок действует горизонтальная сила $F$ направление которой постоянно, график (см. рис.) зависимости модуля силы от времени в относительных единицах — полуокружность, $F_0 = 1{,}5$ Н, $t_0 = 1{,}5$ с.

Найдите скорость бруска в момент прекращения действия силы. Ускорение свободного падения $10$ м/с². Ответ приведите в [см/с] и округлите до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Сила сначала растёт, потом убывает до нуля, а трение мешает всё время. Подумай, когда брусок тронется и что с ним будет в конце. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеБрусок и сила-полуокружность

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Брусок и сила-полуокружность

Когда брусок трогается и с какой скоростью он едет, когда сила исчезает?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Проведи на графике уровень μmg/F₀ = 0,8 и закрась, где сила больше этого уровня и где меньше, пока брусок едет.

Подсказка 1

Пока сила меньше наибольшей силы трения покоя $\mu mg$ брусок стоит. Сравни $\mu mg$ с $F_0$ и найди на графике, когда брусок трогается и когда сила снова становится меньше трения.

Подсказка 2

После старта на брусок действуют $F$ и трение скольжения $\mu mg$ Изменение импульса $mv$ — площадь под графиком $F(t)$ минус $\mu mg$ умноженное на время движения. Площадь под дугой окружности — через сектор и треугольник.

Разобрать решение по шагам

Когда брусок поедет

Наибольшая сила трения покоя $\mu mg = 0{,}2 \cdot 0{,}6 \cdot 10 = 1{,}2$ Н $= 0{,}8F_0$ Пока $F < 0{,}8F_0$ брусок стоит: трение покоя уравновешивает силу. На полуокружности $F/F_0 = \sqrt{1 - (t/t_0 - 1)^2}$ , и уровень $0{,}8$ достигается при $t/t_0 - 1 = \pm 0{,}6$ — это пунктир на рисунке. Брусок трогается при $t = 0{,}4t_0$ После $t = 1{,}6t_0$ сила снова меньше трения: брусок тормозится, но продолжает ехать.

Импульс — разность площадей

С момента старта $m\dfrac{dv}{dt} = F - \mu mg$ , поэтому к концу действия силы

mv = \int_{0{,}4t_0}^{2t_0}(F - \mu mg)\,dt = F_0t_0\,(S_+ - S_-),

где в относительных единицах $S_+$ — сегмент круга над уровнем $0{,}8$ (там сила больше трения), $S_-$ — недостача под этим уровнем от $1{,}6$ до $2$ (там трение больше силы). Половинный угол хорды $\varphi = \arccos 0{,}8 \approx 0{,}6435$ :

S_+ = \frac{2\varphi - \sin 2\varphi}{2} \approx 0{,}16350,

Под полуокружностью от $1{,}6$ до $2$ лежит площадь — четверть круга без треугольника с катетами $0{,}6$ и $0{,}8$ и без сектора с углом $\arcsin 0{,}6$

S_0 = \frac{\pi}{4} - 0{,}24 - \frac{\arcsin 0{,}6}{2} \approx 0{,}22365,

а $S_-$ — прямоугольник $0{,}4 \times 0{,}8$ без неё:

S_- = 0{,}4 \cdot 0{,}8 - S_0 \approx 0{,}09635.

Синее — импульс, разгоняющий брусок (S₊), оранжевое — импульс, тормозящий его в конце (S₋); mv = F₀t₀(S₊ − S₋).

Скорость в конце

$S_+ - S_- \approx 0{,}067149$ , $mv = 0{,}067149 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 \approx 0{,}15109$ Н·с,

v = \frac{0{,}15109}{0{,}6} \approx 0{,}2518 \text{ м/с} \approx 25 \text{ см/с}.

Брусок не останавливается раньше: скорость растёт до $1{,}6t_0$ и потом убывает, оставаясь положительной до $2t_0$

Проверка

Та же площадь иначе: под дугой от $0{,}4$ до $2$ лежит $\dfrac{\pi}{4} + 0{,}24 + \dfrac{\arcsin 0{,}6}{2} \approx 1{,}34715$ , импульс трения $0{,}8 \cdot 1{,}6 = 1{,}28$ — разность $0{,}06715$ Независимо: пошаговое интегрирование движения с трением даёт $25{,}18$ см/с. Во всех версиях $\mu mg/F_0 = 0{,}8$ поэтому $v = 0{,}067149\,F_0t_0/m$ ID 3490 — $0{,}4197$ м/с $\to 42$ см/с; ID 3491 — $0{,}7554$ м/с $\to 76$ см/с; ID 3492 — $1{,}17511$ м/с, то есть $117{,}51 \to 118$ см/с (близко к границе округления $117{,}5$ но выше неё).

Ответ

$v = \dfrac{F_0t_0}{m}\,(S_+ - S_-) \approx 25$ см/с.

Ответ

$v = \dfrac{F_0t_0}{m}\,(S_+ - S_-) \approx 25$ см/с.

Главная идея

Брусок трогается, только когда сила превысит μmg; дальше изменение импульса — площадь под графиком силы минус импульс трения, а площадь под дугой считается через сектор и треугольник.

Сила задана графиком, на тело действует трение, — сначала момент трогания, потом импульс как площадь под графиком.

Где легко ошибиться

Считать импульс силы с t = 0 (пока брусок стоит, трение покоя гасит силу); вычитать трение за всё время 2t₀; думать, что брусок останавливается, как только F < μmg.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 3489 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3490, 3491, 3492) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Трение покоя и трение скольжения
Импульс силы как площадь под графиком F(t)
Площадь сектора и сегмента круга

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Закон сохранения импульса

Задать вопрос по задаче →