Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

На гладком горизонтальном столе покоятся две шайбы. Третья шайба поступательно движется по столу и сталкивается поочерёдно с покоящимися шайбами. После первого столкновения шайба отклоняется от направления движения на $10$ градусов, после второго столкновения шайба отклоняется на $20$ градусов от нового направления движения.

На сколько процентов уменьшается кинетическая энергия налетающей шайбы после двух столкновений? Все шайбы одинаковые и гладкие. Столкновения шайб абсолютно упругие и нецентральные. Ответ приведите в процентах и округлите до целого числа.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

При упругом ударе сохраняются и импульс, и энергия. Подумай, как связаны скорости шайб после удара, если шайбы одинаковые и одна покоится. Ниже можно сверить ответ в процентах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайбы на гладком столе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайбы на гладком столе

Как разлетаются одинаковые шайбы после упругого удара и сколько энергии теряет налетающая?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй вектор скорости до удара и разложи его на две перпендикулярные части: одна — скорость налетающей шайбы после удара под углом α.

Подсказка 1

Запиши законы сохранения для одного удара одинаковых шайб, одна из которых покоится: $\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$ и $v^2 = v_1^2 + v_2^2$ Какой треугольник образуют эти три вектора?

Подсказка 2

Скорости после удара перпендикулярны: треугольник прямоугольный, $\vec v$ — гипотенуза. Если налетающая шайба отклонилась на $\alpha$ её скорость стала $v\cos\alpha$ Повтори для второго удара.

Разобрать решение по шагам

Один упругий удар

Шайбы одинаковые, вторая покоится. Импульс: $m\vec v = m\vec v_1 + m\vec v_2$ , энергия: $\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{mv_2^2}{2}$ . Векторы $\vec v_1$ и $\vec v_2$ в сумме дают $\vec v$ а квадраты их длин в сумме дают $v^2$ — по теореме Пифагора они перпендикулярны (удар нецентральный, оба вектора не нулевые). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $v$ катет, прилежащий к углу отклонения $\alpha$ равен $v\cos\alpha$ налетающая шайба сохраняет скорость $v_1 = v\cos\alpha$

Треугольник скоростей одного удара: скорости шайб после удара перпендикулярны, налетающая сохраняет v cos α.

Два удара подряд

Второй удар устроен так же, но начинается со скорости $v_1$ после него скорость налетающей шайбы $v_1\cos\alpha_2 = v\cos\alpha_1\cos\alpha_2$ . Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, поэтому от неё остаётся доля

\cos^2\alpha_1\cos^2\alpha_2.

Сколько процентов потеряно

Остаётся доля

\cos^2 10^\circ\cos^2 20^\circ \approx 0{,}96985 \cdot 0{,}88302 \approx 0{,}85640,

потеряно

1 - 0{,}85640 = 0{,}1436 \approx 14\ \%.

Проверка

Проверка без формулы: модель (и независимый расчёт) разыгрывает удары гладких дисков с прицельным расстоянием, подобранным под заданное отклонение, — потеря та же, $14{,}36\ \%$ а импульс и энергия трёх шайб сохраняются. Другие версии: ID 3494 — $1 - \cos^2 15^\circ\cos^2 30^\circ \approx 0{,}300 \to 30\ \%$ ; ID 3495 — $1 - \cos^2 20^\circ\cos^2 40^\circ \approx 0{,}482 \to 48\ \%$ ; ID 3496 — $1 - 0{,}75 \cdot 0{,}5 = 0{,}625$ : ровно $62{,}5\ \%$ по обычному правилу половина округляется вверх — $63\ \%$

Ответ

$1 - \cos^2\alpha_1\cos^2\alpha_2 \approx 14\ \%$ .

Ответ

$1 - \cos^2\alpha_1\cos^2\alpha_2 \approx 14\ \%$ .

Главная идея

При упругом ударе одинаковых шайб, одна из которых покоится, скорости после удара перпендикулярны: налетающая сохраняет v cos α. Доли оставшейся энергии после двух ударов перемножаются.

Упругий нецентральный удар одинаковых тел, одно из которых покоится, — прямой угол разлёта.

Где легко ошибиться

Складывать потери двух ударов вместо умножения оставшихся долей; считать, что налетающая шайба сохраняет скорость, раз удар упругий; брать cos α вместо cos²α для энергии.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 3493 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3494, 3495, 3496) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Закон сохранения импульса в векторной форме
Закон сохранения энергии при упругом ударе
Теорема Пифагора и косинус угла

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →