Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Идеальный газ расширяется в процессе $1 - 2$ Отношение конечного объёма к начальному $\dfrac{V_2}{V_1} = 1{,}25$ . Температура газа в начальном и конечном состояниях одинакова. Количество газа в процессе остаётся неизменным.

Найдите отношение среднего числа соударений молекул в расчёте на единицу площади в единицу времени в конечном состоянии к среднему числу соударений молекул в расчёте на единицу площади в единицу времени в начальном состоянии. Ответ округлите до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Газа столько же, температура та же, а объём больше. Подумай, от чего зависит, как часто молекулы ударяются о кусочек стенки. Ниже можно сверить ответ — число с точностью до десятых.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУдары молекул о стенку

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Удары молекул о стенку

Во сколько раз реже молекулы ударяются о стенку после расширения при той же температуре?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй два одинаковых кусочка газа у стенки: во втором молекул в V₂/V₁ раз меньше, а летят они так же быстро.

Подсказка 1

Сколько молекул ударится о маленький кусочек стенки за единицу времени? Это зависит от того, сколько молекул в единице объёма и как быстро они летят.

Подсказка 2

Число ударов о единицу площади за единицу времени $z = \dfrac{n\langle v\rangle}{4}$ пропорционально концентрации $n = N/V$ и средней скорости $\langle v\rangle \sim \sqrt T$ . Температуры начального и конечного состояний равны.

Разобрать решение по шагам

От чего зависит число ударов

Возьмём площадку $S$ на стенке. За время $\Delta t$ о неё ударятся молекулы, летящие к стенке из слоя толщиной около $v_x\Delta t$ — их число пропорционально $nS\langle v\rangle\Delta t$ . Точный подсчёт с усреднением по направлениям даёт $z = \dfrac{n\langle v\rangle}{4}$ ударов на единицу площади в единицу времени. Коэффициент $\tfrac14$ при сравнении двух состояний сократится, важны только $n$ и $\langle v\rangle$

О площадку S за время Δt ударяются молекулы из тонкого слоя у стенки, летящие к ней.

Что меняется при расширении

Число молекул $N$ не меняется, объём вырос: $n_2/n_1 = V_1/V_2$ Средняя скорость молекул зависит только от температуры, $\langle v\rangle \sim \sqrt T$ , а температуры состояний равны — средние скорости одинаковы. Какой был процесс между состояниями, неважно.

Отношение

\frac{z_2}{z_1} = \frac{n_2}{n_1}\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8.

Проверка

Проверка через давление: $p = nkT$ а давление — это удары молекул о стенку. При равной температуре $p_2/p_1 = V_1/V_2 = 0{,}8$ , и удары реже во столько же раз — каждый удар передаёт в среднем тот же импульс. Независимо: интеграл потока максвелловского распределения даёт то же отношение. Другие версии: ID 3502 — $1/2 = 0{,}5$ ID 3503 — $1/3{,}3 \approx 0{,}303 \to 0{,}3$ ; ID 3504 — $1/10 = 0{,}1$

Ответ

$\dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{V_1}{V_2} = 0{,}8$ .

Ответ

$\dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{V_1}{V_2} = 0{,}8$ .

Главная идея

Число ударов о стенку пропорционально концентрации и средней скорости молекул: z ∝ n√T. При неизменной температуре оно обратно пропорционально объёму.

«Число соударений молекул с единицей площади в единицу времени» — z = n⟨v⟩/4: сравнить n и T в двух состояниях.

Где легко ошибиться

Решить, что число ударов не меняется, раз температура та же; пытаться учитывать неизвестный процесс 1 − 2; путать удары о стенку с соударениями молекул между собой.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 3501 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3502, 3503, 3504) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Концентрация молекул n = N/V
Средняя скорость молекул и температура
Давление газа как результат ударов молекул

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →