Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

На концах невесомого стержня длины $1$ м расположены одинаковые шарики. Стержень устанавливают вертикально на гладкой горизонтальной плоскости (см. рис.), а затем, слегка сместив от вертикали, отпускают.

Найдите скорость верхнего шарика в момент времени, когда стержень составляет угол $20$ градусов с вертикалью. Ускорение свободного падения $10$ м/с². Ответ приведите в [см/с] и округлите до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Плоскость гладкая, поэтому нижний шарик скользит, а не стоит на месте. Подумай, как движутся шарики и середина стержня. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтержень с шариками падает

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Стержень с шариками падает

Как движутся шарики, пока стержень падает, и с какой скоростью летит верхний?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй стержень под углом α, середину на вертикали, нижний шарик на плоскости и выпиши координаты обоих шариков через α.

Подсказка 1

Плоскость гладкая: горизонтальных внешних сил нет. Как тогда движется центр масс стержня — середина между шариками?

Подсказка 2

Середина стержня опускается строго по вертикали, нижний шарик скользит по плоскости. Вырази координаты и скорости шариков через угол $\alpha$ и угловую скорость $\dot\alpha$ и запиши закон сохранения энергии.

Разобрать решение по шагам

Середина падает вертикально

На систему действуют сила тяжести и реакция гладкой плоскости — обе вертикальны. Горизонтальный импульс сохраняется и равен нулю, поэтому центр масс (середина стержня) движется строго вниз. Начало координат — под серединой: нижний шарик в точке $x_1 = \tfrac{l}{2}\sin\alpha$ на плоскости, верхний — $x_2 = -\tfrac{l}{2}\sin\alpha$ , $y_2 = l\cos\alpha$

Скорости шариков

Дифференцируем по времени. Нижний шарик: $v_1 = \tfrac{l}{2}\cos\alpha\cdot\dot\alpha$ , горизонтально. Верхний: по горизонтали $\tfrac{l}{2}\cos\alpha\cdot\dot\alpha$ , по вертикали $l\sin\alpha\cdot\dot\alpha$ , так что

v_2^2 = l^2\dot\alpha^2\left(\frac{\cos^2\alpha}{4} + \sin^2\alpha\right) = \frac{l^2\dot\alpha^2}{4}\,(1 + 3\sin^2\alpha).

Мгновенная ось: скорость каждой точки перпендикулярна линии, проведённой к ней от оси.

Закон сохранения энергии

Верхний шарик опустился на $l(1 - \cos\alpha)$ нижний остался на плоскости:

mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{ml^2\dot\alpha^2}{4}\,(1 + \sin^2\alpha).

Отсюда

v_2^2 = \frac{gl\,(1 - \cos\alpha)(1 + 3\sin^2\alpha)}{1 + \sin^2\alpha}.

Ответ

При $l = 1$ м и $\alpha = 20^\circ$ $1 - \cos\alpha \approx 0{,}060307$ , $\dfrac{1 + 3\sin^2\alpha}{1 + \sin^2\alpha} \approx 1{,}20945$ , $v_2^2 \approx 10 \cdot 0{,}060307 \cdot 1{,}20945 \approx 0{,}7294$ м²/с², $v_2 \approx 0{,}854$ м/с $\approx 85$ см/с.

Проверка

Проверка через мгновенную ось вращения: скорость нижнего шарика горизонтальна, середины — вертикальна, значит, ось лежит на пересечении вертикали через нижний шарик и горизонтали через середину. От оси до верхнего шарика $\tfrac{l}{2}\sqrt{1 + 3\sin^2\alpha}$ , и $v_2 = \dot\alpha\cdot\tfrac{l}{2}\sqrt{1 + 3\sin^2\alpha}$ — та же формула. Нижний шарик не отрывается от плоскости (проверено: реакция положительна при всех углах до $85^\circ$ ). Независимо: интегрирование уравнения движения (метод Рунге — Кутты) даёт $85{,}40$ см/с. Другие версии: ID 3517 — $l = 1{,}5$ м, $30^\circ$ $\approx 167{,}7 \to 168$ см/с; ID 3516 — $50^\circ$ $\approx 249{,}3 \to 249$ см/с; ID 3515 — $l = 1{,}5$ м, $60^\circ$ $\approx 373{,}2 \to 373$ см/с.

Ответ

$v_2 = \sqrt{\dfrac{gl(1 - \cos\alpha)(1 + 3\sin^2\alpha)}{1 + \sin^2\alpha}} \approx 85$ см/с.

Ответ

$v_2 = \sqrt{\dfrac{gl(1 - \cos\alpha)(1 + 3\sin^2\alpha)}{1 + \sin^2\alpha}} \approx 85$ см/с.

Главная идея

Без горизонтальных сил середина стержня падает по вертикали; скорости шариков выражаются через угол и угловую скорость, и закон сохранения энергии даёт ответ.

Тело на гладкой плоскости, отпущенное из покоя, — центр масс движется по вертикали; кинематическая связь плюс закон сохранения энергии.

Где легко ошибиться

Считать нижний шарик неподвижным (вращение вокруг него) — тогда v₂ = √(2gl(1 − cos α)); забыть горизонтальную составляющую скорости верхнего шарика или кинетическую энергию нижнего.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 3514 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3517, 3516, 3515) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 21) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Движение центра масс
Закон сохранения механической энергии
Скорости точек твёрдого тела, мгновенная ось вращения

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →