Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Система состоит из доски, нити пренебрежимо малой массы и небольшого груза. Нить перекинута через блок, одним концом привязана к доске, а другим концом пропущена через сквозное отверстие в грузе. Доска движется поступательно вправо по горизонтальному гладкому столу, груз скользит по нити вертикально вниз, нить между грузом и доской натянута. В некоторый момент времени скорость груза относительно вертикальной части нити равна $0{,}5$ м/с, расстояние от груза до нижнего конца нити $L = 0{,}5$ м (см. рис.). При скольжении на груз и на нить действуют силы трения. Модуль силы трения равен $\alpha\cdot mg$ где $\alpha$ — коэффициент, равный $0{,}2$ $m$ — масса груза, $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения. Отношение массы доски к массе груза равно $1$

Найдите скорость груза относительно вертикальной части нити в тот момент, когда он соскользнёт с нити. Нить скользит по блоку без трения. Удлинением нити пренебрегите. Ответ приведите в [м/с] и округлите до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Двигаются сразу три тела: доска, нить и груз на ней. Подумай, что натягивает нить и как движется груз относительно нити. Ниже можно сверить ответ в метрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГруз на нити

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Груз на нити

С каким ускорением груз скользит по движущейся нити и с какой скоростью он с неё соскользнёт?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй груз на нити, кусочек нити внутри него и силы: трение на груз вверх, на нить вниз. Сравни ускорение груза с ускорением нити.

Подсказка 1

Нить невесома, а её нижний конец свободен. Чему тогда равна сила натяжения нити над грузом? Подумай о кусочке нити, который проходит сквозь груз.

Подсказка 2

Натяжение $T = \alpha mg$ тянет доску: её ускорение $\alpha g/k$ и с тем же ускорением вниз движется вертикальная часть нити. Груз движется вниз с ускорением $(1 - \alpha)g$ Найди ускорение груза относительно нити — оно постоянно.

Разобрать решение по шагам

Натяжение нити

Ниже груза конец нити свободен — там натяжения нет. Груз скользит вниз относительно нити, поэтому трение действует на груз вверх, а на нить — вниз, по модулю $\alpha mg$ На невесомый кусочек нити внутри груза сверху действует натяжение $T$ снизу — трение: $T = \alpha mg$ Блок без трения — такое же натяжение и у доски.

Ускорения доски, нити и груза

Доску массой $km$ по гладкому столу тянет только нить: $km\,a_1 = \alpha mg$ $a_1 = \dfrac{\alpha g}{k} = 2$ м/с². Нить нерастяжима, поэтому её вертикальная часть движется вниз с тем же ускорением $a_1$ На груз действуют $mg$ вниз и трение $\alpha mg$ вверх: $a_2 = (1 - \alpha)g = 8$ м/с² вниз.

Натяжение равно силе трения; доска и нить разгоняются с αg/k, груз — с (1 − α)g.

Движение относительно нити

Ускорение груза относительно нити

a = a_2 - a_1 = g\left(1 - \alpha - \frac{\alpha}{k}\right) = 10\,(1 - 0{,}2 - 0{,}2) = 6 \text{ м/с}^2

постоянно. Относительно нити груз проходит путь $L$ равноускоренно:

u^2 = u_0^2 + 2aL = 0{,}25 + 2 \cdot 6 \cdot 0{,}5 = 6{,}25,

поэтому $u = 2{,}5$ м/с.

Проверка

Проверка по времени: $\tau = \dfrac{u - u_0}{a} = \dfrac{1}{3}$ с, и за это время относительно нити груз проходит $u_0\tau + \dfrac{a\tau^2}{2} = \dfrac{0{,}5}{3} + \dfrac{1}{3} = 0{,}5$ м $= L$ Начальная скорость доски не задана и не нужна: ускорения от неё не зависят. Независимо: пошаговое интегрирование движения доски и груза даёт $2{,}500$ м/с. Другие версии: ID 3519 — $a = 5$ м/с², $u^2 = 0{,}25 + 10 = 10{,}25$ , $u \approx 3{,}20 \to 3{,}2$ м/с; ID 3520 — $a = 8$ м/с², $u^2 = 1 + 24 = 25$ $u = 5$ м/с (в этой версии ответ округляют до целого); ID 3521 — $a = 4$ м/с², $u^2 = 1 + 2{,}4 = 3{,}4$ $u \approx 1{,}84 \to 1{,}8$ м/с.

Ответ

$u = \sqrt{u_0^2 + 2g\left(1 - \alpha - \dfrac{\alpha}{k}\right)L} = 2{,}5$ м/с.

Ответ

$u = \sqrt{u_0^2 + 2g\left(1 - \alpha - \dfrac{\alpha}{k}\right)L} = 2{,}5$ м/с.

Главная идея

Невесомая нить со свободным концом натянута силой трения: T = αmg. Ускорения нити и груза постоянны, их разность — постоянное ускорение груза относительно нити.

Тело скользит по нити (бусинка, груз с отверстием) — натяжение нити равно силе трения; удобно перейти в систему отсчёта нити.

Где легко ошибиться

Считать нить неподвижной и брать ускорение (1 − α)g; считать натяжение равным mg; забыть, что доску разгоняет только натяжение нити.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 10, версия с ID 3518 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3519, 3520, 3521) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 23) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй закон Ньютона
Невесомая нить и её натяжение
Сложение ускорений при относительном движении
Равноускоренное движение: v² = v₀² + 2as

Приёмы решения: Относительное движение · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →