Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Колесо вращается вокруг неподвижной оси O (см. рис.) так, что угловое ускорение $\varepsilon$ и угловая скорость $\omega$ связаны соотношением $\varepsilon = k\cdot\omega$ , где $k = -0{,}15$ 1/с — коэффициент пропорциональности.

Найдите угол между векторами скорости и ускорения любой точки на ободе в тот момент, когда колесо совершит 2 оборота начиная с момента времени $t = 0$ Угловая скорость колеса при $t = 0$ равна $\omega_0 = 2$ 1/с. Ответ приведите в градусах и округлите до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Колесо тормозится, причём тем слабее, чем медленнее вращается. Подумай, как найти угловую скорость после двух оборотов и куда тогда направлено ускорение точки обода. Ниже можно сверить ответ в градусах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКолесо с ε = kω

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Колесо с ε = kω

Как угловая скорость зависит от числа оборотов и куда направлено ускорение точки обода?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Начерти точку обода, стрелку скорости по касательной и две составляющие ускорения: ω²R к центру и |ε|R против скорости.

Подсказка 1

Угловое ускорение — производная $\omega$ по времени. Перейди от времени к углу поворота $\varphi$

\dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{d\omega}{d\varphi}\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} = \omega\dfrac{d\omega}{d\varphi}

. Что тогда даёт $\varepsilon = k\omega$

Подсказка 2

Получится $\dfrac{d\omega}{d\varphi} = k$ : угловая скорость линейно зависит от угла поворота, $\omega = \omega_0 + k\varphi$ . У точки обода нормальное ускорение $\omega^2R$ касательное $|\varepsilon|R$ найди угол между ускорением и радиусом, а потом — между ускорением и скоростью.

Разобрать решение по шагам

Угловая скорость после двух оборотов

Запишем $\varepsilon = \dfrac{d\omega}{dt} = \omega\dfrac{d\omega}{d\varphi}$ . Из $\varepsilon = k\omega$ получаем $\dfrac{d\omega}{d\varphi} = k$ , то есть

\omega = \omega_0 + k\varphi.

После двух оборотов $\varphi = 4\pi$ $\omega = 2 - 0{,}15 \cdot 4\pi = 2 - 0{,}6\pi \approx 0{,}1150$ 1/с. Колесо успевает сделать эти обороты: при $k < 0$ оно может повернуться не больше чем на $\omega_0/|k| \approx 13{,}3$ рад, а $4\pi \approx 12{,}57$ рад.

Ускорение точки обода

У точки обода радиуса $R$ две составляющие ускорения: нормальная $a_n = \omega^2R$ — к центру и касательная $a_\tau = \varepsilon R = k\omega R$ — вдоль скорости. При $k < 0$ касательное ускорение направлено против скорости: колесо тормозится. Угол $\beta$ между полным ускорением и радиусом:

\operatorname{tg}\beta = \frac{|a_\tau|}{a_n} = \frac{|k|\omega R}{\omega^2R} = \frac{|k|}{\omega}.

Радиус $R$ сократился — ответ один для любой точки обода.

Точка обода при торможении: нормальное ускорение к центру, касательное — против скорости; угол между

\vec v

\vec a

равен 90° + β.

Угол между скоростью и ускорением

Скорость направлена по касательной, перпендикулярно радиусу, а ускорение отклонено от радиуса на $\beta$ назад, против скорости. Поэтому угол между ними $90^\circ + \beta$

\operatorname{tg}\beta = \frac{0{,}15}{0{,}1150} \approx 1{,}304,\quad \beta \approx 52{,}51^\circ,\quad 90^\circ + \beta \approx 142{,}51^\circ \approx 143^\circ.

Проверка

Проверка через время: из $\varepsilon = k\omega$ следует $\omega = \omega_0e^{kt}$ а угол поворота $\varphi = \dfrac{\omega_0}{|k|}\left(1 - e^{kt}\right)$ — исключив $t$ снова получаем $\omega = \omega_0 + k\varphi$ . Ответ близок к границе округления: $142{,}51^\circ$ с $\pi \approx 3{,}14$ получилось бы $142{,}28^\circ \to 142^\circ$ , поэтому считаем с точным $\pi$ Другие версии: ID 3486 — $\omega = 2{,}9 - 0{,}84\pi \approx 0{,}261$ 1/с, $\beta \approx 28{,}2^\circ$ , угол $\approx 118{,}2^\circ \to 118^\circ$ ; ID 3487 — $\omega = 4{,}1 - 1{,}04\pi \approx 0{,}833$ 1/с, угол $\approx 98{,}9^\circ \to 99^\circ$ ; ID 3488 — $k > 0$ колесо разгоняется: $\omega = 0{,}1 + 0{,}2\pi \approx 0{,}728$ 1/с, касательное ускорение направлено по скорости, угол $90^\circ - \beta \approx 82{,}2^\circ \to 82^\circ$ .

Ответ

$90^\circ + \operatorname{arctg}\dfrac{|k|}{\omega_0 + 4\pi k} \approx 143^\circ$ .

Ответ

$90^\circ + \operatorname{arctg}\dfrac{|k|}{\omega_0 + 4\pi k} \approx 143^\circ$ .

Главная идея

Условие ε = kω превращается в dω/dφ = k: угловая скорость меняется линейно с углом поворота. Угол ускорения с радиусом задаётся отношением |ε|/ω² = |k|/ω.

Ускорение задано как функция скорости, а момент задан пройденным углом (путём), — замена d/dt = ω·d/dφ.

Где легко ошибиться

Считать ω = ω₀ + kt, как при постоянном ε; брать угол β вместо 90° + β; забыть, что при k > 0 касательное ускорение направлено по скорости; округлять с π ≈ 3,14 (у ID 3485 это меняет ответ).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 3485 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3486, 3487, 3488) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Угловая скорость и угловое ускорение
Нормальное и касательное ускорение
Производная сложной функции

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →