Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородный шнур, одна часть которого лежит на шероховатом горизонтальном столе, а другая свешивается в гладкое отверстие в столе, удерживают, затем освобождают (см. рис.). Шнур приходит в движение с нулевой начальной скоростью. Масса шнура $2$ кг, коэффициент трения скольжения шнура по столу $0{,}1$ длина вертикальной части шнура составляет $10\ \%$ длины шнура.

Найдите модуль силы натяжения в сечении шнура, отстоящем на расстоянии $l_0$ от левого конца шнура сразу после начала движения. Расстояние $l_0$ составляет $40\ \%$ длины шнура. Ускорение свободного падения $10$ м/с². Удлинение шнура и энергию деформации считайте пренебрежимо малыми. Ответ приведите в [Н] с точностью до сотых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Шнур движется весь целиком, а натяжение внутри него разное в разных местах. Подумай, какие силы действуют на кусок шнура слева от сечения. Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШнур на столе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шнур на столе

Какое натяжение в сечении заставит кусок слева двигаться вместе со всем шнуром?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй кусок слева от сечения, стрелку натяжения вперёд и трения назад и запиши для него второй закон Ньютона с ускорением всего шнура.

Подсказка 1

Сначала найди ускорение всего шнура сразу после отпускания: его тянет вниз вес свешивающейся части, а тормозит трение той части, что лежит на столе.

Подсказка 2

Мысленно отрежь кусок слева от сечения. На него действуют только натяжение $T$ вперёд и трение назад, а ускорение у него такое же, как у всего шнура.

Разобрать решение по шагам

Ускорение всего шнура

Пусть $M$ — масса шнура, $\beta = 0{,}1$ — доля длины, которая свешивается, $\gamma = 0{,}4$ — доля до сечения. Шнур нерастяжим и движется как целое: вниз его тянет вес свешивающейся части $\beta Mg$ назад — трение лежащей части $\mu(1 - \beta)Mg$ (отверстие гладкое, на изгибе трения нет):

Ma = \beta Mg - \mu(1 - \beta)Mg,

откуда

a = g\bigl(\beta - \mu(1 - \beta)\bigr) = 10\,(0{,}1 - 0{,}09) = 0{,}1 \text{ м/с}^2.

$a > 0$ — шнур действительно приходит в движение.

Кусок слева от сечения

Сечение на расстоянии $0{,}4$ длины от левого конца лежит на столе: на столе $0{,}9$ длины. Кусок слева (масса $\gamma M$ ) тянет вперёд натяжение $T$ тормозит трение $\mu\gamma Mg$ а ускорение у него общее со шнуром:

T - \mu\gamma Mg = \gamma Ma,\qquad T = \gamma M(a + \mu g).

Кусок слева от сечения: натяжение вперёд, трение назад, ускорение общее со всем шнуром.

Ответ

Подставив $a$ получаем $a + \mu g = g\beta(1 + \mu)$ , поэтому

T = \gamma\beta(1 + \mu)Mg = 0{,}4 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}1 \cdot 20 = 0{,}88 \text{ Н}.

Проверка

Проверка с другой стороны сечения: на правую часть (масса $0{,}6M$ ) действуют вес свешивающейся части $\beta Mg = 2$ Н вперёд, трение лежащей части $\mu(1 - \beta - \gamma)Mg = 1$ Н и натяжение $T$ назад: $2 - 1 - T = 0{,}6 \cdot 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}12$ , $T = 0{,}88$ Н. Независимо: расчёт шнура, разрезанного на много маленьких кусков, даёт то же. Другие версии: ID 3511 — $0{,}3 \cdot 0{,}2 \cdot 1{,}2 \cdot 40 = 2{,}88$ Н; ID 3512 — $0{,}2 \cdot 0{,}3 \cdot 1{,}3 \cdot 80 = 6{,}24$ Н; ID 3513 — $0{,}2 \cdot 0{,}4 \cdot 1{,}4 \cdot 120 = 13{,}44$ Н. Во всех версиях сечение лежит на столе и шнур трогается.

Ответ

$T = \gamma\beta(1 + \mu)Mg = 0{,}88$ Н.

Ответ

$T = \gamma\beta(1 + \mu)Mg = 0{,}88$ Н.

Главная идея

Натяжение в сечении находится из движения отрезанного куска: на него действуют только натяжение и трение, а ускорение общее для всего шнура.

Натяжение внутри движущейся верёвки или цепочки — сначала ускорение целого, потом второй закон Ньютона для куска по одну сторону сечения.

Где легко ошибиться

Считать шнур неподвижным и приравнивать T силе трения куска (T = μγMg); забыть, что трение действует только на лежащую часть; брать в кусок слева часть свешивающегося шнура.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 3509 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3511, 3512, 3513) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 19) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Второй закон Ньютона для системы тел
Сила трения скольжения
Натяжение как внутренняя сила

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →