Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Две однородные доски длиной $L = 1{,}5$ м, лежащие одна на другой (см. рис.), движутся по горизонтальной плоскости со скоростью $1{,}5$ м/с и въезжают с гладкой части на шероховатую часть этой плоскости. Коэффициент трения скольжения нижней доски по горизонтальной плоскости равен $0{,}3$ коэффициент трения скольжения верхней доски по нижней равен $0{,}1$

Найдите модуль скорости досок в момент времени, когда начнётся относительное движение досок. Ускорение свободного падения $10$ м/с². Доски движутся поступательно. Ответ приведите в [см/с] и округлите до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Доски заезжают на шероховатую часть постепенно. Подумай, как растёт тормозящая сила и что держит верхнюю доску вместе с нижней. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДоски въезжают на шероховатый пол

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Доски въезжают на шероховатый пол

Когда верхняя доска начнёт проскальзывать и с какой скоростью доски будут ехать в этот момент?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй доски, заехавшие на шероховатую часть на длину x, и сравни замедление пары μ₁gx/L с наибольшим замедлением верхней доски μ₂g.

Подсказка 1

Пока на шероховатую часть заехал кусок длиной $x$ трение о пол действует только на него. Какая часть веса досок давит на шероховатую часть?

Подсказка 2

Сила трения о пол $\mu_1Mg\,x/L$ ( $M$ — масса обеих досок) растёт линейно с $x$ замедление пары $\mu_1gx/L$ Верхнюю доску тормозит только трение о нижнюю — не больше $\mu_2mg$ то есть замедление не больше $\mu_2g$ Найди $x$ при котором его станет мало, и работу растущей силы трения.

Разобрать решение по шагам

Сила трения о пол растёт с длиной

Доски лежат точно одна на другой, их общий вес $Mg$ давит на пол равномерно по длине $L$ Когда на шероховатую часть заехал кусок длиной $x$ на него приходится вес $Mg\,x/L$ и сила трения $\mu_1Mg\,x/L$ Пока доски едут вместе, их замедление

a = \frac{\mu_1 g x}{L}.

Массы досок в ответ не войдут.

Когда верхняя доска начнёт проскальзывать

Верхнюю доску (масса $m$ ) тормозит только трение о нижнюю, и оно не больше $\mu_2mg$ её замедление не может превысить $\mu_2g$ Доски едут вместе, пока $a \le \mu_2g$ проскальзывание начинается при

\frac{\mu_1 g x^*}{L} = \mu_2 g,\qquad x^* = \frac{\mu_2}{\mu_1}L = \frac{0{,}1}{0{,}3}\cdot 1{,}5 = 0{,}5 \text{ м}.

Это меньше $L$ — нижняя доска ещё не целиком на шероховатой части.

Скорость в этот момент

Сила трения растёт от нуля линейно, как сила упругости пружины, поэтому её работа на пути $x^*$ — площадь треугольника: $A = \dfrac{\mu_1Mg\,x^{*2}}{2L}$ . Энергия:

v^2 = v_0^2 - \frac{\mu_1 g x^{*2}}{L} = v_0^2 - \frac{\mu_2^2 gL}{\mu_1} = 2{,}25 - \frac{0{,}01 \cdot 10 \cdot 1{,}5}{0{,}3} = 1{,}75 \text{ м}^2/\text{с}^2,

$v \approx 1{,}3229$ м/с $\approx 132$ см/с.

Замедление пары растёт линейно с x; при x* оно достигает μ₂g. Площадь под графиком до x* равна (v₀² − v²)/2.

Проверка

Проверка: пара не останавливается раньше ( $v^2 > 0$ ), и $x^* < L$ Независимо: пошаговое интегрирование движения пары даёт $132{,}29$ см/с. Другие версии: ID 3506 — $v^2 = 4 - \dfrac{0{,}04 \cdot 10 \cdot 2}{0{,}3} = \dfrac{4}{3}$ , $v \approx 115{,}47 \to 115$ см/с; ID 3507 — $2{,}25 - 2 = 0{,}25$ $v = 50$ см/с; ID 3508 — $4 - \dfrac{2}{3}$ $v \approx 182{,}57 \to 183$ см/с.

Ответ

$v = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{\mu_2^2gL}{\mu_1}} \approx 132$ см/с.

Ответ

$v = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{\mu_2^2gL}{\mu_1}} \approx 132$ см/с.

Главная идея

Сила трения о пол растёт пропорционально заехавшей длине, как сила упругости пружины: её работа — площадь треугольника. Проскальзывание начинается, когда замедление пары достигает μ₂g.

Тело постепенно въезжает на шероховатую поверхность — сила трения пропорциональна длине на ней; «начнётся относительное движение» — сравнить нужное ускорение верхнего тела с предельным μg.

Где легко ошибиться

Считать трение о пол сразу полным μ₁Mg; искать момент проскальзывания по равенству сил трения, а не ускорений; забыть, что работа растущей силы — половина произведения наибольшей силы на путь.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 3505 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3506, 3507, 3508) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф10 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Трение скольжения и трение покоя
Работа переменной силы как площадь под графиком
Теорема о кинетической энергии

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →