Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

На тренировке по бегу ученики Пётр и Николай бегают по круговой дорожке. Если они побегут из одной точки в противоположные стороны, они встретятся через $t_1 = 20$ с. Николай пробегает круг за $t_2 = 50$ с. Ученики стартуют из одной точки и бегут в одну сторону.

За какое время Пётр обгонит Николая на один круг? В ответе укажите целое число [с].

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Длина дорожки не дана — и не нужна: считай доли круга. Сначала найди, за сколько Пётр пробегает круг, потом — как быстро он «отрывается» от Николая. Ниже можно сверить ответ в секундах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКруговая дорожка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Круговая дорожка

Каков круг Петра, если навстречу они встречаются через t₁, и когда он обгонит Николая на круг?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: прими длину дорожки за 1 и выпиши скорости в кругах в секунду.

Подсказка 1

Удобные единицы — круги в секунду: Николай пробегает $1/t_2$ круга в секунду, Пётр — $1/t_{\text{П}}$ Навстречу за $t_1$ они вместе пробегают ровно один круг.

Подсказка 2

В одну сторону Пётр уходит от Николая со скоростью $1/t_{\text{П}} - 1/t_2$ круга в секунду. Обгон на круг — когда отрыв достигнет целого круга.

Разобрать решение по шагам

Скорости в кругах в секунду

Пусть длина дорожки — $1$ круг. Николай бегает со скоростью $1/t_2 = 1/50$ круга в секунду, Пётр — с неизвестной $1/t_{\text{П}}$ Навстречу друг другу они сближаются со скоростью $1/t_{\text{П}} + 1/t_2$ и встречаются, когда вместе пробежали целый круг:

\left(\frac{1}{t_{\text{П}}} + \frac{1}{t_2}\right)t_1 = 1\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{t_{\text{П}}} = \frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{3}{100}.

Круг Петра — $t_{\text{П}} = 100/3 \approx 33{,}3$ с: он быстрее Николая.

Отрыв в одну сторону

Когда оба бегут в одну сторону, расстояние между ними растёт со скоростью разности: $\dfrac{1}{t_{\text{П}}} - \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{3}{100} - \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{100}$ круга в секунду. Пётр обгонит Николая на круг, когда отрыв станет равен одному кругу:

T = \frac{1}{1/t_{\text{П}} - 1/t_2} = 100\ \text{с}.

Общая формула и проверка

Подставив $1/t_{\text{П}} = 1/t_1 - 1/t_2$ , получаем

T = \frac{1}{1/t_1 - 2/t_2} = \frac{t_1t_2}{t_2 - 2t_1} = \frac{20\cdot 50}{50 - 40} = 100\ \text{с}.

Проверка: за $100$ с Пётр пробегает $3$ круга, Николай — $2$ ровно на круг больше. Формула подсказывает и границу: при $t_2 = 2t_1$ Пётр бежит так же, как Николай, и никогда его не обгонит; при $t_1<t_2<2t_1$ обгонять будет Николай. При $t_2=t_1$ Пётр должен стоять; при $t_2<t_1$ времена несовместимы с встречным бегом, поскольку $1/t_{\text{П}}=1/t_1-1/t_2<0$ .

Проверка

Проверка счётом кругов: $100/33{,}33 = 3$ $100/50 = 2$ разность $1$ Независимо: пошаговое моделирование положений бегунов на окружности (review/calc/p9r2.py) даёт встречу навстречу через $20{,}0$ с и обгон на круг через $100{,}0$ с. Другие версии по $T = t_1t_2/(t_2 - 2t_1)$ ID 6225 ( $25$ и $60$ с) — $150$ с; ID 6226 ( $30$ и $70$ с) — $210$ с; ID 6227 ( $35$ и $80$ с) — $280$ с. Все ответы целые.

Ответ

$T = \dfrac{t_1t_2}{t_2 - 2t_1} = 100$ с.

Ответ

$T = \dfrac{t_1t_2}{t_2 - 2t_1} = 100$ с.

Главная идея

Измеряй скорости в кругах в секунду: навстречу они складываются и дают круг за t₁, в одну сторону вычитаются и дают круг отрыва за T.

Встреча навстречу и обгон на круг на замкнутой дорожке — сумма и разность скоростей, выраженных в кругах за единицу времени.

Где легко ошибиться

Делить круг пополам при беге навстречу; считать обгон как момент первого равенства положений (это и есть круг отрыва, но путают с «догнать»); складывать времена вместо обратных величин.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 8, версия с ID 6224 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6225, 6226, 6227) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 9 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равномерное движение по окружности как доли круга
Сближение и удаление: сумма и разность скоростей
Действия с дробями

Приёмы решения: Относительное движение · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →