Задача 3. Два катера: курсы под прямым углом

Кто где находится

Пусть катера идут к точке пересечения $O$: первый по оси $x$, второй по оси $y$, оба на расстоянии $S$. За время $t$ первый пройдёт $V_1t$, второй $V_2t < V_1t$. Если бы оба ещё не дошли до $O$, их расстояния до $O$ были бы $S - V_1t \ne S - V_2t$ — равными снова стать не могут. Значит, быстрый катер прошёл $O$ и ушёл за неё на $S/5$, а медленный ещё не дошёл на $S/5$:

Как меняется расстояние между точками

Расстояние между двумя движущимися точками меняется со скоростью, равной сумме проекций их скоростей на соединяющий отрезок (составляющие поперёк отрезка его в этот момент лишь поворачивают). Это удобно проверить: $\dfrac{d}{dt}|\vec r| = \dfrac{\vec r\cdot\vec v}{|\vec r|}$ — проекция относительной скорости на направление $\vec r$.

В нашем положении катера стоят на концах катетов равнобедренного прямоугольного треугольника с вершиной $O$ и катетами $S/5$; соединяющий отрезок наклонён к обоим курсам под $45^\circ$.

Считаем скорость изменения расстояния

Быстрый катер уже ушёл за $O$ и движется от отрезка: его проекция $+V_1\cos 45^\circ$ удлиняет расстояние. Медленный ещё подходит к $O$ и движется в сторону отрезка: его проекция $-V_2\cos 45^\circ$ укорачивает его. Итого

Расстояние растёт: быстрый катер удаляется быстрее, чем медленный его догоняет.