Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Система, состоящая из груза и лёгких нитей (см. рис.), находится в покое, нити образуют с вертикалью углы $\alpha = 18^\circ$ масса груза $m = 1$ кг, нить $AO$ горизонтальная. В точке $O$ к системе приложена внешняя сила $\vec F$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Найдите модуль наименьшей силы $F$ при которой система находится в покое. Ответ приведите в [Н] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Сила $F$ может быть направлена как угодно — ищут самую маленькую по модулю. Сначала пойми, что тянет узел $O$ влево, а потом подумай, куда выгоднее всего направить $F$ Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКуда направить силу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Куда направить силу

При каком направлении силы F её модуль наименьший, и остаётся ли нить OB натянутой?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй силы на узле O и разложи вектор, который должна уравновесить F, вдоль нити OB и перпендикулярно ей.

Подсказка 1

Рассмотри сначала узел $A$ на него действуют груз $mg$ вниз, левая нить под углом $\alpha$ к вертикали и горизонтальная нить $AO$ Из равновесия найди натяжение $AO$ — оно не зависит от силы $F$

Подсказка 2

Теперь узел $O$ горизонтальная нить тянет его влево с силой $mg\,\mathrm{tg}\,\alpha$ нить $OB$ может только тянуть вдоль себя, а $\vec F$ должна «добить» баланс. Сила, перпендикулярная нити $OB$ — самая выгодная: нить сама берёт на себя всё, что направлено вдоль неё.

Разобрать решение по шагам

Узел A: натяжение горизонтальной нити

На узел $A$ действуют три силы: вес груза $mg$ (через короткую нить вниз), натяжение $T_1$ левой нити под углом $\alpha$ к вертикали и натяжение $T_{AO}$ горизонтальной нити. По вертикали $T_1\cos\alpha = mg$ по горизонтали $T_1\sin\alpha = T_{AO}$ Значит,

T_{AO} = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha = 10 \cdot \mathrm{tg}\,18^\circ \approx 3{,}249\ \text{Н}.

Эта величина задана грузом и углом — сила $F$ на неё не влияет, пока система покоится в нарисованном положении.

Узел O: что должна сделать сила F

На узел $O$ действуют горизонтальная нить (влево, $T_{AO}$ ), нить $OB$ (вдоль себя к потолку, натяжение $T \ge 0$ ) и сила $\vec F$ Чтобы узел покоился, $\vec F + \vec T = -\vec T_{AO}$ , то есть сумма $\vec F$ и $\vec T$ должна быть направлена вправо и равна $T_{AO}$ по модулю.

Разложим $\vec F$ на составляющую вдоль нити $OB$ и перпендикулярную ей. Составляющую вдоль нити можно отдать самой нити — она лишь слегка изменит своё натяжение. А вот перпендикулярную нити часть вектора $-\vec T_{AO}$ никто, кроме $\vec F$ создать не может: нить тянет только вдоль себя.

Наименьшая сила — перпендикулярно нити OB

Нить $OB$ образует с вертикалью угол $\alpha$ значит с горизонталью — угол $90^\circ - \alpha$ Перпендикулярная нити составляющая горизонтального вектора $T_{AO}$ равна $T_{AO}\cos\alpha$ Меньше этого модуль $F$ быть не может, и ровно это значение достигается, когда $\vec F \perp OB$

F_{\min} = T_{AO}\cos\alpha = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\cos\alpha = mg\sin\alpha = 10\sin 18^\circ \approx 3{,}09\ \text{Н} \approx 3{,}1\ \text{Н}.

Направлена эта сила вниз и вправо, перпендикулярно $OB$ (под углом $\alpha = 18^\circ$ ниже горизонтали: нить $OB$ наклонена к горизонтали на $90^\circ - \alpha$ а перпендикуляр к ней — на $\alpha$ ). Проверим, что нить при этом натянута: $T = T_{AO}\sin\alpha = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\sin\alpha > 0$ — да, нить не провисает, картинка остаётся прежней.

Проверка

Проверка другим способом: запишем для узла $O$ проекции на горизонталь и вертикаль при силе $F$ под углом $\psi$ к горизонтали: $F\cos\psi + T\sin\alpha = T_{AO}$ , $F\sin\psi + T\cos\alpha = 0$ . Исключая $T$ получаем $F = T_{AO}/(\cos\psi - \sin\psi\,\mathrm{tg}\,\alpha)$ ; знаменатель наибольший, равный $1/\cos\alpha$ при $\mathrm{tg}\,\psi = -\mathrm{tg}\,\alpha$ , то есть $\psi = -\alpha$ — это и есть перпендикуляр к нити. Численная минимизация |F| по натяжению нити OB методом золотого сечения (review/calc/p9r2.py) даёт тот же минимум. Другие версии той же формулой $F_{\min} = mg\sin\alpha$ ID 6197 ( $\alpha = 24^\circ$ $m = 2$ кг) — $8{,}1$ Н; ID 6198 ( $13^\circ$ $4$ кг) — $9{,}0$ Н; ID 6199 ( $7^\circ$ $5$ кг) — $6{,}1$ Н.

Ответ

$F_{\min} = mg\sin\alpha \approx 3{,}1$ Н, сила направлена перпендикулярно нити $OB$

Ответ

$F_{\min} = mg\sin\alpha \approx 3{,}1$ Н, сила направлена перпендикулярно нити $OB$

Главная идея

Нить тянет только вдоль себя, поэтому всё, что направлено вдоль нити, можно отдать ей; сила F обязана создать лишь перпендикулярную нити составляющую — она и есть наименьшая.

Узел держат нить и сила неизвестного направления, спрашивают наименьшую силу — ищи перпендикуляр к нити.

Где легко ошибиться

Брать F горизонтальной (тогда F = mg tg α — больше); забывать проверить, что нить OB при найденной силе остаётся натянутой; путать углы с вертикалью и с горизонталью.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 1, версия с ID 6196 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6197, 6198, 6199) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 9 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Равновесие узла: сумма сил равна нулю
Разложение силы на составляющие
Натяжение нити направлено вдоль нити

Приёмы решения: Уравнение сил · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →