Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Два однородных стержня длиной $3S$ и $4S$ и массой $m = 5$ кг и $2m$ соответственно прочно скреплены под прямым углом и подвешены на двух вертикальных нитях одинаковой длины (см. рис.). Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Найдите силу натяжения нити 2. Ответ приведите в [Н] с округлением до целых.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Нити вертикальны и одной длины — значит, концы стержней на одном уровне. Подумай, как при этом наклонены стержни, где висят их центры масс, и как разделится вес $3mg$ между нитями. Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКак висит уголок

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Как висит уголок

При каком наклоне концы стержней окажутся на одном уровне, и какая нить тогда натянута сильнее?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй прямоугольный треугольник 3–4–5 так, чтобы гипотенуза была горизонтальной сверху, отметь середины катетов и опусти из них перпендикуляры на гипотенузу.

Подсказка 1

Концы стержней — на одном уровне, поэтому отрезок между ними (гипотенуза $5S$ прямоугольного треугольника со сторонами $3S$ и $4S$ ) горизонтален. Найди, где на этой горизонтали проектируется вершина прямого угла.

Подсказка 2

Центр каждого стержня — его середина. Найди горизонтальные расстояния середин от конца 1 и запиши правило моментов относительно конца 1: нить 2 с плечом $5S$ уравновешивает моменты весов $mg$ и $2mg$

Разобрать решение по шагам

Положение уголка

Нити вертикальные и одинаковые, значит концы стержней висят на одной высоте, и отрезок между ними горизонтален. Стержни $3S$ и $4S$ скреплены под прямым углом — этот отрезок является гипотенузой $5S$ прямоугольного треугольника. Вершина прямого угла висит ниже, и её проекция делит гипотенузу на части

\frac{(3S)^2}{5S} = 1{,}8S \quad\text{и}\quad \frac{(4S)^2}{5S} = 3{,}2S

(катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции). Высота опущенной вершины — $\dfrac{3S\cdot 4S}{5S} = 2{,}4S$ ; она нам, впрочем, не понадобится.

Где висят центры масс

Центр однородного стержня — его середина. Середина стержня $3S$ проектируется на горизонталь на расстоянии $1{,}8S/2 = 0{,}9S$ от конца 1. Середина стержня $4S$ — посередине между проекцией вершины ( $1{,}8S$ ) и концом 2 ( $5S$ ): $\dfrac{1{,}8S + 5S}{2} = 3{,}4S$ от конца 1.

Главное наблюдение: для моментов сил тяжести важны только горизонтальные плечи, а они оказались простыми долями $S$ — сама длина $S$ сократится.

Правило моментов относительно конца 1

Относительно конца 1 (точка подвеса нити 1) момент создают веса стержней и натяжение $T_2$ нити 2 с плечом $5S$

T_2\cdot 5S = mg\cdot 0{,}9S + 2mg\cdot 3{,}4S = 7{,}7\,mgS,\qquad T_2 = 1{,}54\,mg = 1{,}54\cdot 5\cdot 10 = 77\ \text{Н}.

Тогда $T_1 = 3mg - T_2 = 1{,}46\,mg = 73$ Н — чуть меньше, хотя лёгкий стержень ближе к нити 1: тяжёлый стержень висит ближе к нити 2 и перетягивает.

Проверка

Проверка: моменты относительно конца 2 дают $T_1\cdot 5S = mg\cdot 4{,}1S + 2mg\cdot 1{,}6S = 7{,}3\,mgS$ , $T_1 = 1{,}46\,mg$ — сумма $T_1 + T_2 = 3mg$ сходится. Общий центр масс лежит на $\dfrac{0{,}9 + 2\cdot 3{,}4}{3}S = 2{,}567S$ от конца 1 — ближе к нити 2, поэтому $T_2 > T_1$ Независимо: прямое вычисление координат центров масс в декартовых координатах (review/calc/p9r2.py) даёт те же плечи. Другие версии: ID 6201 ( $m = 10$ кг, нить 1) — $146$ Н; ID 6202 ( $m = 15$ кг, нить 2) — $231$ Н; ID 6203 ( $m = 20$ кг, нить 1) — $292$ Н.

Ответ

$T_2 = 1{,}54\,mg = 77$ Н (для нити 1 было бы $T_1 = 1{,}46\,mg = 73$ Н).

Ответ

$T_2 = 1{,}54\,mg = 77$ Н (для нити 1 было бы $T_1 = 1{,}46\,mg = 73$ Н).

Главная идея

Одинаковые вертикальные нити означают горизонтальную гипотенузу; тогда плечи центров масс — простые доли S, и правило моментов относительно одной нити сразу даёт натяжение другой.

Жёсткое тело из двух стержней висит на двух вертикальных нитях — правило моментов относительно точки подвеса одной из нитей.

Где легко ошибиться

Считать, что стержни висят горизонтально или что натяжения делятся пополам; брать плечом длину стержня вместо горизонтальной проекции; делить вес пропорционально массам (3mg·2/3 = 100 Н — неверно).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 2, версия с ID 6200 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6201, 6202, 6203) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 9 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Правило моментов для твёрдого тела
Центр масс однородного стержня — его середина
Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →