Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Два мячика бросают с одинаковой скоростью $V_0 = 20$ м/с под углом $\alpha = 37^\circ$ к горизонту с промежутком времени $\tau = 2$ с. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Силу сопротивления воздуха считаем пренебрежимо малой. Точка старта находится высоко над горизонтальной площадкой.

Определите наименьшее расстояние между мячиками в течение совместного полёта. Ответ приведите в [м] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Оба мячика летят по одной и той же траектории, но второй отстаёт на $\tau$ Подумай, от чего зависит расстояние между ними и когда оно наименьшее. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва мяча на одной траектории

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два мяча на одной траектории

В какой момент расстояние между мячами наименьшее и чему оно равно?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: вычти координаты мячей и заметь, что квадраты времени почти сократились.

Подсказка 1

Запиши разность координат мячиков $\vec r_1 - \vec r_2$ через время $t$ после первого броска (при $t \ge \tau$ ). Квадратичные по времени слагаемые почти сократятся — разность линейна по $t$

Подсказка 2

Разность $\vec r_1 - \vec r_2 = \tau\,\vec v\!\left(t - \tfrac{\tau}{2}\right)$ — это $\tau$ умноженное на скорость мяча в «средний» момент. Расстояние наименьшее, когда скорость наименьшая — в вершине траектории: там остаётся только горизонтальная составляющая.

Разобрать решение по шагам

Разность координат линейна по времени

Пусть первый мяч брошен в момент $0$ второй — в момент $\tau$ При $t \ge \tau$

\vec r_1 = \vec V_0 t + \frac{\vec g t^2}{2},\qquad \vec r_2 = \vec V_0(t-\tau) + \frac{\vec g (t-\tau)^2}{2},

\vec r_1 - \vec r_2 = \vec V_0\tau + \vec g\!\left(t\tau - \frac{\tau^2}{2}\right) = \tau\left(\vec V_0 + \vec g\left(t - \frac{\tau}{2}\right)\right) = \tau\,\vec v\!\left(t - \frac{\tau}{2}\right).

Вектор от второго мяча к первому — это скорость мяча в момент $t - \tau/2$ умноженная на $\tau$ Он направлен вдоль касательной к траектории посередине между мячами.

Наименьшее расстояние — наименьшая скорость

Расстояние $d = \tau\,|\vec v(t - \tau/2)|$ . Скорость мяча при полёте наименьшая в вершине траектории, где вертикальная составляющая обращается в нуль и остаётся $V_0\cos\alpha$ Вершину мяч проходит через $t_{\text{в}} = V_0\sin\alpha/g \approx 20\cdot 0{,}6/10 = 1{,}2$ с после своего броска.

Нужно, чтобы «средний» момент $t - \tau/2 \approx 1{,}2$ с наступил, когда второй мяч уже летит: $t \approx 1{,}2 + 1 = 2{,}2$ с $\ge \tau = 2$ с — да. (Площадка далеко внизу, так что первый мяч к этому моменту ещё не упал.)

Ответ

d_{\min} = \tau\,V_0\cos\alpha = 2\cdot 20\cdot\cos 37^\circ = 40\cdot 0{,}7986 \approx 31{,}9\ \text{м} \approx 32\ \text{м}.

В этот момент ( $t \approx 2{,}204$ с после первого броска) первый мяч прошёл вершину $1$ с назад, а второй достигнет её через $1$ с: оба интервала равны $\tau/2$ Второй пока летит лишь $0{,}204$ с — это время после его старта, а не оставшееся время до вершины. Мячики находятся на одной высоте, поэтому соединяющая их хорда горизонтальна.

Проверка

Проверка: при $t = \tau/2 + V_0\sin\alpha/g \approx 2{,}204$ с координаты первого мяча $(35{,}20;\ 2{,}24)$ м, второго $(3{,}25;\ 2{,}24)$ м — разность горизонтальна, расстояние $31{,}95$ м. Поиск минимума $d(t)$ перебором по времени с шагом $10^{-4}$ с (review/calc/p9r2.py) даёт $31{,}945$ м при $t = 2{,}20$ с. Другие версии (во всех $V_0\sin\alpha/g \ge \tau/2$ , минимум в вершине): ID 6209 ( $25$ м/с, $43^\circ$ $3$ с) — $54{,}9 \to 55$ м; ID 6210 ( $15$ м/с, $41^\circ$ $1{,}5$ с) — $16{,}98 \to 17$ м; ID 6211 ( $16$ м/с, $39^\circ$ $1{,}2$ с) — $14{,}92 \to 15$ м.

Ответ

$d_{\min} = \tau V_0\cos\alpha \approx 32$ м.

Ответ

$d_{\min} = \tau V_0\cos\alpha \approx 32$ м.

Главная идея

Разность координат двух одинаково брошенных мячей равна τ·v(t − τ/2), поэтому наименьшее расстояние — это τ, умноженное на наименьшую скорость мяча, то есть на горизонтальную скорость в вершине.

Два одинаковых броска с задержкой — разность координат линейна по времени и выражается через скорость в средний момент.

Где легко ошибиться

Брать расстояние в момент второго броска (τ·V₀ — больше); считать, что мячи ближе всего, когда первый в вершине; измерять расстояние вдоль траектории.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 4, версия с ID 6208 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6209, 6210, 6211) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 9 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Движение под углом к горизонту в векторной форме
Скорость в вершине траектории
Вычитание векторов

Приёмы решения: Относительное движение · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →