Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

В электрической цепи (см. рис.), подключённой к источнику постоянного напряжения, показания вольтметров $V_1 = 8$ В и $V_2 = 12$ В. После удаления второго вольтметра показание первого вольтметра совпало с показанием второго до удаления.

Найдите напряжение источника. В ответе укажите целое число [В].

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Вольтметры в этой задаче — обычные приборы с конечным сопротивлением, и через них течёт ток. Подумай, что значит «удалить» вольтметр так, чтобы первый всё ещё что-то показывал. Ниже можно сверить ответ в вольтах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЦепь с двумя вольтметрами

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Цепь с двумя вольтметрами

При каком напряжении источника первый вольтметр после замены второго проводом покажет ровно V₂?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: обозначь сопротивления вольтметров r₁ и r₂ и запиши, как делится U между R, r₁ и r₂ до и после замены.

Подсказка 1

Резистор и оба вольтметра включены последовательно — через все течёт один ток $I$ Показания — $Ir_1$ и $Ir_2$ где $r_1$ $r_2$ — сопротивления вольтметров. Что из этого следует для отношения $r_2/r_1$

Подсказка 2

Если бы второй вольтметр просто вынули, цепь разорвалась бы и первый показал бы ноль. Раз он показал $V_2$ место второго замкнуто проводом: остались $R$ и $r_1$ и на $r_1$ приходится $V_2$ Запиши деление напряжения $U$ до и после.

Разобрать решение по шагам

Один ток — показания пропорциональны сопротивлениям

Резистор $R$ и вольтметры с сопротивлениями $r_1$ $r_2$ соединены последовательно, поэтому через них идёт один и тот же ток $I$ Показания вольтметров — напряжения на них самих:

V_1 = Ir_1,\qquad V_2 = Ir_2\quad\Rightarrow\quad \frac{r_2}{r_1} = \frac{V_2}{V_1} = 1{,}5.

Напряжение источника делится между тремя участками: $U = I(R + r_1 + r_2)$ то есть $V_1 = U\dfrac{r_1}{R + r_1 + r_2}$ .

Что значит «удалить вольтметр»

Если вынуть прибор и оставить разрыв, тока не будет и первый вольтметр покажет $0$ В условии же он показал $V_2 = 12$ В — значит, второй вольтметр заменили проводом (это единственное чтение, при котором условие непротиворечиво). Теперь напряжение делится между $R$ и $r_1$

V_2 = U\frac{r_1}{R + r_1}.

Сопротивление $R$ по-прежнему неизвестно, но у нас два уравнения на два неизвестных отношения: $R/r_1$ и $U$

Решаем

Из второго уравнения $U = V_2\!\left(1 + \dfrac{R}{r_1}\right)$ . Подставим в первое, записав $r_2 = 1{,}5r_1$

V_1 = \frac{V_2\,(1 + R/r_1)}{R/r_1 + 1 + V_2/V_1}\quad\Rightarrow\quad \frac{R}{r_1} = \frac{V_1}{V_2 - V_1} = \frac{8}{4} = 2.

Тогда

U = V_2\left(1 + \frac{V_1}{V_2 - V_1}\right) = \frac{V_2^2}{V_2 - V_1} = \frac{144}{4} = 36\ \text{В}.

Проверка: до удаления $U$ делится между $R : r_1 : r_2 = 2 : 1 : 1{,}5$ — на $r_1$ приходится $36/4{,}5 = 8$ В, на $r_2$ — $12$ В; после — между $2 : 1$ на $r_1$ приходится $12$ В. Всё сходится.

Проверка

Проверка подбором: при $U = 36$ В и $r_1 = 1$ (единицы условные) резистор $R = 2$ $r_2 = 1{,}5$ дают ток $36/4{,}5 = 8$ показания $8$ В и $12$ В; после замены $r_2$ проводом ток $36/3 = 12$ показание $12$ В. Независимо: подбор $R$ бисекцией по условию «после замены проводом первый показывает $V_2$ » (review/calc/p9r2.py) даёт $U = 36$ В. Другие версии по $U = V_2^2/(V_2 - V_1)$ ID 6217 ( $6$ и $9$ В) — $27$ В; ID 6218 ( $12$ и $16$ В) — $64$ В; ID 6219 ( $12$ и $15$ В) — $75$ В.

Ответ

$U = \dfrac{V_2^2}{V_2 - V_1} = 36$ В.

Ответ

$U = \dfrac{V_2^2}{V_2 - V_1} = 36$ В.

Главная идея

Реальные вольтметры в последовательной цепи — просто резисторы с известным отношением сопротивлений; «удаление» вольтметра без разрыва цепи — замена его проводом, и два деления напряжения дают U.

Показания вольтметров меняются после удаления одного из них — вольтметры неидеальные, считай их резисторами и записывай деление напряжения до и после.

Где легко ошибиться

Считать вольтметры идеальными (тогда последовательная цепь не имела бы тока); понимать удаление как разрыв цепи; складывать показания: U = V₁ + V₂ = 20 В (забыв о падении на R).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 6, версия с ID 6216 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6217, 6218, 6219) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 9 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Закон Ома для участка цепи
Последовательное соединение: один ток, напряжения пропорциональны сопротивлениям
Внутреннее сопротивление вольтметра

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →