Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Фейерверк, лежащий на горизонтальной площадке, разрывается на два осколка, которые летят с одинаковыми по модулю начальными скоростями и падают на площадку на расстоянии $L = 30$ м. Первый осколок падает на площадку через $T_1 = 2$ с после старта. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Силу сопротивления воздуха считаем пренебрежимо малой.

Найдите продолжительность полёта второго осколка. Ответ приведите в [с] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Одна скорость, одна дальность, но время полёта другое — значит, другой угол. Вспомни, при каких двух углах дальность одинакова. Ниже можно сверить ответ в секундах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва осколка фейерверка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два осколка фейерверка

Под каким углом летит второй осколок с той же скоростью и дальностью, и сколько он летит?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй две траектории с одной дальностью — пологую и крутую — и сравни их высоты.

Подсказка 1

По времени полёта $T_1$ найди вертикальную составляющую скорости первого осколка ( $gT_1/2$ ), по дальности $L$ — горизонтальную ( $L/T_1$ ). Так ты знаешь модуль скорости и угол первого осколка.

Подсказка 2

Дальность $V^2\sin 2\alpha/g$ одинакова при углах $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ Второй осколок летит под дополнительным углом: его вертикальная скорость равна горизонтальной скорости первого. Время полёта — $2V_y/g$

Разобрать решение по шагам

Скорость первого осколка

Время полёта определяется вертикальной скоростью: $T_1 = 2V_{1y}/g$ откуда $V_{1y} = gT_1/2 = 10$ м/с. Дальность — горизонтальной: $L = V_{1x}T_1$ $V_{1x} = L/T_1 = 15$ м/с. Модуль скорости

V = \sqrt{V_{1x}^2 + V_{1y}^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18{,}0\ \text{м/с},\qquad \mathrm{tg}\,\alpha_1 = \frac{V_{1y}}{V_{1x}} = \frac{2}{3}.

Почему второй осколок летит под дополнительным углом

При одном модуле начальной скорости и одной дальности

\sin 2\alpha_2=\sin 2\alpha_1.

Для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ есть два случая: $\alpha_2=\alpha_1$ и $\alpha_2=90^\circ-\alpha_1$ . В первом случае времена тоже равны: $T_2=T_1$ Само слово «осколки» не исключает одинаковых углов: тела могут лететь в разных азимутальных направлениях или иметь совпадающие параметры движения.

Далее используем явно принятое допущение об отличной по углу траектории. Тогда $\alpha_2=90^\circ-\alpha_1$ : вертикальная составляющая второго равна модулю горизонтальной составляющей первого, $V_{2y}=V\cos\alpha_1=15$ м/с; модуль горизонтальной равен $V_{1y}=10$ м/с. При $\alpha_1=45^\circ$ два случая совпадают; отдельного второго угла нет.

Время полёта второго

T_2 = \frac{2V_{2y}}{g} = \frac{2V_{1x}}{g} = \frac{2L}{gT_1} = \frac{60}{20} = 3\ \text{с}.

Проверка дальности: $V_{2x}T_2 = 10\cdot 3 = 30$ м $= L$ Красивое следствие: $T_1T_2 = 2L/g$ — произведение времён полёта двух осколков с одной дальностью не зависит от скорости.

Проверка

Проверка: дальность второго $V^2\sin 2\alpha_2/g = 325\cdot\sin(2\cdot 56{,}31^\circ)/10 = 325\cdot 0{,}923/10 = 30$ м — сходится. Независимо: подбор угла с той же дальностью бисекцией (review/calc/p9r2.py) даёт $\alpha_2 = 56{,}31^\circ$ и $T_2 = 3{,}000$ с. Другие версии по $T_2 = 2L/(gT_1)$ ID 6213 ( $L = 60$ м, $T_1 = 3$ с) — $4$ с; ID 6214 ( $100$ м, $4$ с) — $5$ с; ID 6215 ( $120$ м, $4$ с) — $6$ с. Во всех версиях ответ целый без округления.

Ответ

При выбранной отличной по углу траектории $T_2=\dfrac{2L}{gT_1}=3$ с. Без этого уточнения возможно и $T_2=T_1=2$ с; исходное условие не даёт единственного ответа.

Ответ

Главная идея

Одинаковая дальность при одинаковой скорости означает дополнительные углы; тогда составляющие скорости меняются местами и T₁T₂ = 2L/g.

Два тела с одной скоростью и одной дальностью, но разным временем полёта — дополнительные углы броска.

Где легко ошибиться

Считать, что осколки летят симметрично в разные стороны под одним углом (тогда время одинаковое); находить V и угол, но забывать, что sin 2α одинаков для α и 90° − α.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 5, версия с ID 6212 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6213, 6214, 6215) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответ организатора соответствует одному из прочтений условия; прочтения разобраны («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 9 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗). Официальные указания выбирают дополнительные углы; из буквального текста исключение одинаковых углов не следует. В разборе это явно условный выбор.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Движение под углом к горизонту: время полёта и дальность
Формула дальности V²sin 2α/g
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →