Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №9 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В стальной стакан, нагретый до температуры $t_1 = 80\,^\circ$ C, положили лёд массой $M = 180$ г при температуре $t_2 = -6\,^\circ$ C. После установления теплового равновесия в стакане лёд массой $\tilde M = 150$ г плавает в воде. Удельная теплоёмкость стали $c_1 = 525$ Дж/(кг $\cdot{}^\circ$ C), удельная теплоёмкость льда $c_2 = 2100$ Дж/(кг $\cdot{}^\circ$ C), удельная теплота плавления льда $\lambda = 336$ кДж/кг. Потери теплоты пренебрежимо малы. Найдите по этим данным массу стакана. В ответе укажите целое число [г].

Дано: $t_1 = 80\,^\circ$ C; $M = 180$ г $= 0{,}18$ кг; $t_2 = -6\,^\circ$ C; $\tilde M = 150$ г $= 0{,}15$ кг; $c_1 = 525$ Дж/(кг $\cdot{}^\circ$ C); $c_2 = 2100$ Дж/(кг $\cdot{}^\circ$ C); $\lambda = 336$ кДж/кг $= 336\,000$ Дж/кг. Найти: массу стакана $m$ (в граммах, целое число).

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Сколько весит стакан, если лёд растаял по-другому?

Как масса стакана m зависит от того, сколько льда осталось (M̃), от начальной температуры стакана t₁ и от того, насколько холодным был лёд?

Температура стакана t₁, °CМасса льда M, гОхлаждение льда |t₂|, °CОсталось льда M̃, г

Модель загружается…

Модель использует выведенную формулу теплового баланса при конечной температуре 0 °C. Допустимо 0 ≤ M̃ ≤ M: при M̃ > M такое конечное состояние невозможно и масса стакана не рассчитывается. M̃ = 0 — граница полного плавления при 0 °C; M̃ = M — граница без плавления. Если одновременно |t₂| = 0 и M̃ = M, формула даёт m = 0: это вырожденный предел, а не горячий стакан положительной массы. Высоты блоков условно показывают массы; это не расчёт погружения плавающего льда. Картинка иллюстрирует зависимость, а не доказывает её.

Попробуйте сами: сначала ответьте на один вопрос — какая температура в стакане в конце, если в нём одновременно есть и лёд, и вода? Затем выпишите, кто отдал теплоту и кто её получил, и сколько именно льда растаяло.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Это уравнение теплового баланса: вся теплота, отданная остывающим стаканом, пошла льду. Ключ в конечном состоянии: раз лёд плавает в воде, то в стакане сосуществуют лёд и вода — значит, равновесная температура ровно $0\,^\circ$ C. Стакан остыл от $t_1$ до $0\,^\circ$ C, а лёд прошёл два этапа: нагрелся от $t_2$ до $0\,^\circ$ C и частично расплавился.

Подсказка 2

Обратите внимание: растаяло не $\tilde M$ а разность $M - \tilde M$ — именно столько льда «исчезло». Первый шаг: запишите теплоту, которую отдал стакан, остывая до $0\,^\circ$ C:

Q_{\text{ст}} = m c_1 (t_1 - 0).

Дальше разберитесь, на какие две порции делится теплота, полученная льдом, и какую массу подставлять в каждую.

Разобрать решение по шагам

Определяем конечное состояние

По условию после установления равновесия в стакане лёд плавает в воде. При нормальном атмосферном давлении лёд и вода сосуществуют в равновесии только при температуре плавления, поэтому конечная температура всего содержимого и самого стакана равна $t = 0\,^\circ$ C. Это главное наблюдение: неизвестная температура не нужна, она задана самой картиной «лёд в воде». Заодно ясно, что растаяла только часть льда: было $M = 180$ г, осталось $\tilde M = 150$ г, значит, в воду превратилось $M - \tilde M = 30$ г.

Теплота, отданная стаканом

Стакан остывает от $t_1 = 80\,^\circ$ C до $0\,^\circ$ C. Его теплоёмкость $c_1$ и неизвестная масса $m$ поэтому

Q_{\text{ст}} = m c_1 (t_1 - 0) = m c_1 t_1 .

Потерь нет, значит, вся эта теплота достаётся льду.

Теплота, полученная льдом

Лёд получает теплоту в два этапа. Сначала весь лёд массой $M$ нагревается от $t_2 = -6\,^\circ$ C до $0\,^\circ$ C:

Q_{\text{нагр}} = M c_2 (0 - t_2) = M c_2 |t_2| .

Затем при $0\,^\circ$ C плавится только масса $M - \tilde M$

Q_{\text{пл}} = (M - \tilde M)\lambda .

Плавить весь лёд нельзя: оставшиеся $\tilde M$ так и лежат льдом при $0\,^\circ$ C, а образовавшаяся вода тоже при $0\,^\circ$ C — её греть не нужно.

Уравнение теплового баланса и формула

Отданная теплота равна полученной:

m c_1 t_1 = M c_2 |t_2| + (M - \tilde M)\lambda .

Делим обе части на $c_1 t_1$ и получаем массу стакана в общем виде:

m = \dfrac{M c_2 |t_2| + (M - \tilde M)\lambda}{c_1 t_1}.

Куда уходит теплота стакана: стрелка слева — всё, что отдала сталь, остывая от t₁ до 0 °C; справа два получателя — нагрев всего льда до 0 °C и плавление только разности M − M̃. Внизу — уравнение баланса из шага 4.

Подстановка чисел

Считаем слагаемые в СИ по отдельности.

Нагрев всего льда до $0\,^\circ$ C:

M c_2 |t_2| = 0{,}18 \cdot 2100 \cdot 6 = 2268\ \text{Дж}.

Плавление $30$ г льда:

(M - \tilde M)\lambda = 0{,}03 \cdot 336\,000 = 10\,080\ \text{Дж}.

Всего лёд получил:

2268 + 10\,080 = 12\,348\ \text{Дж}.

Знаменатель:

c_1 t_1 = 525 \cdot 80 = 42\,000\ \text{Дж/кг}.

Тогда

m = \dfrac{12\,348}{42\,000} = 0{,}294\ \text{кг} = 294\ \text{г}.

Получилось ровно целое число, округлять не нужно (в других числовых вариантах этой задачи масса стакана тоже выходит целым числом граммов — косвенный признак, что формула составлена верно). Ответ: $294$ г.

Проверка

Размерность: в числителе кг $\cdot$ Дж/(кг $\cdot{}^\circ$ C) $\cdot{}^\circ$ C $+$ кг $\cdot$ Дж/кг $=$ Дж, в знаменателе Дж/(кг $\cdot{}^\circ$ C) $\cdot{}^\circ$ C $=$ Дж/кг, частное — кг, как и должно быть. Предельный случай: если бы ничего не растаяло ( $\tilde M = M$ ), формула даёт $m = \dfrac{M c_2 |t_2|}{c_1 t_1} = 54$ г — стакан, который едва догревает лёд до нуля; наш стакан тяжелее, потому что плавит ещё 30 г. Обратная проверка: чтобы расплавить весь лёд, стакану нужно было бы отдать $2268 + 0{,}18\cdot 336\,000 = 62\,748$ Дж, то есть иметь массу около $1494$ г — наши $294$ г меньше, значит, картина «часть льда плавает в воде» согласуется с ответом. Все числа пересчитаны численно: $m = 0{,}294$ кг ровно.

Ответ

294 г

Главная идея

Фраза «лёд плавает в воде» задаёт конечную температуру $0\,^\circ$ C и сообщает, что растаяла ровно разность масс $M - \tilde M$ После этого задача сводится к одному уравнению теплового баланса: стакан остывает до нуля, лёд греется до нуля и частично плавится.

Если в конце процесса описано сосуществование двух фаз (лёд в воде, вода с паром), конечная температура известна без вычислений — это температура фазового перехода. Если даны начальная и конечная массы одной фазы, расплавилась (или испарилась) их разность, а не конечная масса. Ищите в условии такие «скрытые» данные, прежде чем вводить неизвестную температуру.

Где легко ошибиться

Подставить в теплоту плавления $\tilde M = 150$ г — ту массу, которая названа в условии, — вместо растаявшей разности $M - \tilde M = 30$ г. Физически это означает, что «расплавилось то, что осталось льдом», то есть перепутаны состояния до и после: $\tilde M$ плавает в воде именно потому, что оно не растаяло. Такая подстановка даёт $Q_{\text{пл}} = 0{,}15 \cdot 336\,000 = 50\,400$ Дж и массу стакана $\dfrac{2268 + 50\,400}{42\,000} \approx 1254$ г — в четыре с лишним раза больше верного ответа, причём стакан такой массы расплавил бы $150$ г из исходных $180$ г и оставил бы только $30$ г льда вместо заданных $150$ г. Для полного плавления потребовалась бы масса стакана $1494$ г.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 9.1 (ID 6061).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

Количество теплоты
Теплота плавления
Равновесие льда и воды

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям

Задать вопрос по задаче →