Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №5 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Зависимость модуля скорости мотоциклиста от времени представлена на графике к задаче, $v_0 = 20$ м/с. Найдите среднюю скорость мотоциклиста на первой половине пути, пройденного за время от $t = 0$ до $t = 2t_0$ Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

Дано: $v_0 = 20$ м/с. График $v(t)$ от $0$ до $t_0$ скорость постоянна и равна $v_0$ от $t_0$ до $2t_0$ скорость растёт линейно от $v_0$ до $2v_0$ Значение $t_0$ не задано — ответ от него не зависит.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Половина пути на графике скорости

Как меняется средняя скорость на первой половине пути, если менять v₀, t₀ и конечную скорость разгона k·v₀? Зависит ли ответ от t₀?

v₀ — скорость на первом участке, м/сt₀ — длительность каждого участка (в задаче не задано), сk — во сколько раз вырастает скорость к моменту 2t₀ (в задаче k = 2; k = 1 исключено)

Модель загружается…

Модель предполагает выведенную в решении формулу t₁ = t₀·(1 + (√(1 + (k−1)²/2) − 1)/(k−1)) и кусочно-линейный график скорости; при k = 1 (равномерное движение) формула содержит деление на ноль, а точный предел — t₁ = t₀ и средняя скорость равна v₀, поэтому k = 1 исключён из диапазона; интерактив иллюстрирует зависимость, но не заменяет вывод.

Попробуйте сами: сначала найдите весь путь за время $2t_0$ как площадь под графиком, а потом определите, в какой момент мотоциклист проезжает ровно половину этого пути. Только после этого считайте среднюю скорость.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Путь — это площадь под графиком $v(t)$ а средняя скорость по определению равна $v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{t}$ , где $S$ — пройденный путь, $t$ — время, за которое он пройден. Обратите внимание: в задаче спрашивают про половину пути, а не про половину времени. Значит, сначала нужно выяснить, в какой момент $t_1$ набирается половина всего пути, и этот момент необязательно совпадает с $t_0$

Подсказка 2

Весь путь — прямоугольник плюс трапеция: $S = v_0 t_0 + \dfrac{v_0 + 2v_0}{2}\,t_0 = 2{,}5\,v_0 t_0$ . Сравните половину этого пути с тем, что пройдено за первые $t_0$ (прямоугольник $v_0 t_0$ ), и вы поймёте, на каком участке графика искать момент $t_1$ На участке разгона удобно отсчитывать время от $t_0$ $\tau = t - t_0$ тогда путь на нём равен $v_0\tau + \dfrac{a\tau^2}{2}$ .

Разобрать решение по шагам

Весь путь — площадь под графиком

Путь при любом движении равен площади под графиком $v(t)$ Фигура под графиком состоит из прямоугольника (участок $0\le t\le t_0$ высота $v_0$ ) и трапеции (участок $t_0\le t\le 2t_0$ основания $v_0$ и $2v_0$ ):

S = v_0 t_0 + \frac{v_0 + 2v_0}{2}\,t_0 = v_0 t_0 + 1{,}5\,v_0 t_0 = 2{,}5\,v_0 t_0.

Половина всего пути: $\dfrac{S}{2} = 1{,}25\,v_0 t_0$ .

Путь — площадь под графиком: прямоугольник S₁ = v₀t₀ на участке равномерного движения и трапеция S₂ = 1,5 v₀t₀ на участке разгона (ось v линейна, поэтому площади пропорциональны путям: 1 : 1,5). Всего S = 2,5 v₀t₀, половина пути 1,25 v₀t₀ больше S₁.

Где заканчивается первая половина пути

Средняя скорость — это $\dfrac{S/2}{t_1}$ где $t_1$ — момент, когда пройдена ровно половина пути. Его нужно найти, а не угадывать. За первые $t_0$ мотоциклист проезжает $S_1 = v_0 t_0$ а это меньше, чем $1{,}25\,v_0 t_0$ Значит, на участке постоянной скорости половина не набирается: момент $t_1$ лежит на участке разгона, $t_0 < t_1 < 2t_0$ и на этом участке надо проехать ещё

\Delta S = \frac{S}{2} - S_1 = 1{,}25\,v_0 t_0 - v_0 t_0 = 0{,}25\,v_0 t_0.

Уравнение разгона и момент t₁

На втором участке скорость растёт линейно: за время $t_0$ она увеличивается на $v_0$ то есть ускорение $a = \dfrac{v_0}{t_0}$ Отсчитаем время от начала разгона: $\tau = t - t_0$ Это обычное равноускоренное движение с начальной скоростью $v_0$ поэтому путь за время $\tau$ равен

\Delta S = v_0\tau + \frac{a\tau^2}{2} = v_0\tau + \frac{v_0\tau^2}{2t_0}.

Приравниваем к $0{,}25\,v_0 t_0$ и делим обе части на $v_0 t_0$ удобно ввести безразмерную долю $x = \dfrac{\tau}{t_0}$

x + \frac{x^2}{2} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 2x - 0{,}5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 + \sqrt{1 + 0{,}5} = \sqrt{1{,}5} - 1 \approx 0{,}225.

Отрицательный корень отбрасываем: время разгона не может быть отрицательным. Итак,

t_1 = t_0 + \tau = t_0\,(1 + x) = t_0\sqrt{1{,}5} = t_0\sqrt{\tfrac{3}{2}} \approx 1{,}22\,t_0 .

Проверка: $t_1$ действительно лежит между $t_0$ и $2t_0$ как и ожидалось в шаге 2.

Половина пути набирается в момент t₁ = √1,5·t₀ ≈ 1,22 t₀: к площади S₁ (синяя) добавляется жёлтая полоска площадью 0,25 v₀t₀. Пунктир — продолжение наклонного участка влево: оно проходит через начало координат, v = (v₀/t₀)·t (см. второй способ в разделе «Проверка» ниже).

Средняя скорость на первой половине пути

По определению средней скорости

v_{\text{ср}} = \frac{S/2}{t_1} = \frac{1{,}25\,v_0 t_0}{t_0\sqrt{3/2}} = \frac{5}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\;v_0 = \frac{5}{2\sqrt{6}}\;v_0 \approx 1{,}0206\,v_0 .

Время $t_0$ сократилось — ответ от него не зависит. Подставляем $v_0 = 20$ м/с:

v_{\text{ср}} = \frac{5\cdot 20}{2\sqrt{6}} \approx 20{,}41 \text{ м/с} \approx 20{,}4 \text{ м/с}.

Проверка

Размерность: $\dfrac{v_0 t_0}{t_0}$ — это скорость, м/с.

Правдоподобие: на первой половине пути мотоциклист бо́льшую часть времени ( $t_0$ из $1{,}22\,t_0$ ) едет со скоростью $v_0$ и лишь в конце разгоняется до $v(t_1) = \sqrt{1{,}5}\,v_0 \approx 1{,}22\,v_0$ . Поэтому средняя скорость должна быть чуть больше $v_0$ и $1{,}02\,v_0$ как раз такова.

Второй способ — без квадратного уравнения. Продолжим наклонную часть графика влево: она проходит через начало координат, потому что

v(t) = v_0 + \dfrac{v_0}{t_0}\,(t - t_0) = \dfrac{v_0}{t_0}\,t.

Тогда путь от $t_0$ до $t_1$ — трапеция с основаниями $v_0$ и $\dfrac{v_0}{t_0}\,t_1$ и высотой $t_1 - t_0$

\Delta S = \dfrac{v_0\,(t_1^2 - t_0^2)}{2t_0}.

Приравниваем к $0{,}25\,v_0 t_0$

t_1^2 - t_0^2 = 0{,}5\,t_0^2 \quad\Longrightarrow\quad t_1^2 = 1{,}5\,t_0^2,

тот же результат, что в шаге 3.

Для сравнения: на всём пути средняя скорость равна

\dfrac{S}{2t_0} = \dfrac{2{,}5\,v_0 t_0}{2t_0} = 1{,}25\,v_0 = 25\text{ м/с},

а на второй половине пути

\dfrac{S/2}{2t_0 - t_1} = \dfrac{1{,}25\,v_0}{2 - \sqrt{1{,}5}} \approx 1{,}61\,v_0.

Первая половина пройдена медленнее, чем весь путь в среднем, — это согласуется с графиком.

Ответ

$v_{\text{ср}} = \dfrac{5}{2\sqrt{6}}\,v_0 \approx 20{,}4$ м/с

Главная идея

Средняя скорость — это путь, делённый на время именно этого пути. Половина пути заканчивается не в момент $t_0$ а позже, внутри участка разгона; момент $t_1$ находится из равенства площадей под графиком (или из формулы пути равноускоренного движения), и только после этого можно делить $S/2$ на $t_1$

Если в задаче спрашивают среднюю скорость на «половине пути» (а не «половине времени») и дан график $v(t)$ то первым делом считают весь путь как площадь под графиком, затем ищут момент, когда накопленная площадь становится равна половине, и лишь потом делят. На линейном участке удобно отсчитывать время от его начала и писать школьную формулу $s = v_0\tau + \dfrac{a\tau^2}{2}$ ; деление на $v_0 t_0$ превращает её в квадратное уравнение для безразмерной доли $x = \tau/t_0$ Если прямая проходит через начало координат, есть короткий путь: $v = at$ а площадь — $\dfrac{a}{2}(t_1^2 - t_0^2)$ .

Где легко ошибиться

Подменить половину пути половиной времени: решить, что первая половина пути — это участок от $0$ до $t_0$ и получить $v_{\text{ср}} = v_0 = 20$ м/с. Но за первые $t_0$ пройдено только $v_0 t_0$ то есть $\dfrac{2}{5}$ всего пути, а не половина. Похожая ошибка — взять среднее арифметическое скоростей $\dfrac{v_0 + v(t_1)}{2}$ оно верно только для равноускоренного движения на всём рассматриваемом промежутке, а здесь движение на первой половине пути составное — сначала равномерное, потом равноускоренное.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 5.1 (ID 6045).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Площадь под графиком скорости
Средняя скорость

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →