Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №8 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Омметр подключён к потенциометру (см. схему на рис.). Потенциометр представляет собой цилиндр, равномерно обмотанный тонкой изолированной проволокой по всей длине. Сопротивление проволоки $R = 16$ Ом. Вдоль боковой поверхности цилиндра может перемещаться ползунок, который находится в электрическом контакте с тем витком проволоки, которого он касается. Ползунок перемещают от одного конца обмотки до другого. Найдите наибольшее показание омметра. В ответе укажите целое число [Ом].

Дано: Сопротивление всей обмотки потенциометра $R = 16$ Ом. Схема подключения омметра — на рисунке. Найти: наибольшее показание омметра $R_{\max}$ (целое число Ом).

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Показание омметра при движении ползунка

Двигайте ползунок по обмотке и меняйте сопротивление проволоки R: как меняется показание омметра и где оно наибольшее?

Сопротивление обмотки R, ОмПоложение ползунка x/R (доля длины от левого конца)

Модель загружается…

Модель предполагает идеальный омметр, однородную обмотку и уже выведенную формулу показания x(R − x)/R.

Попробуйте сами: внимательно проследите по схеме, между какими двумя точками включён омметр, и подумайте, что он покажет при разных положениях ползунка.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Омметр показывает сопротивление участка цепи между своими выводами. Проследите по схеме, какие это две точки: ползунок и узел, в который сходятся ОБА конца обмотки. Значит, ток от ползунка к этому узлу может идти двумя путями — по левой части обмотки и по правой. Это параллельное соединение.

Подсказка 2

Пусть сопротивление левой части обмотки (от левого конца до ползунка) равно $x$ тогда правая часть имеет сопротивление $R - x$ Для параллельного соединения

\dfrac{1}{R_\Omega} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{R-x}.

Выразите отсюда $R_\Omega$ через $x$ и найдите его наибольшее значение при $0 \le x \le R$ Удобно выделить полный квадрат.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Читаем схему: между какими точками включён омметр

Омметр — прибор, который показывает сопротивление участка цепи между своими двумя выводами. Поэтому первое, что нужно сделать, — найти эти две точки на схеме.

Верхний вывод омметра идёт к ползунку (стрелка на обмотке). Нижний вывод идёт к узлу (жирная точка), из которого один провод уходит к левому концу обмотки, а второй — вниз и вокруг к правому концу. Значит, левый и правый концы обмотки соединены проводом, и нижний вывод омметра подключён сразу к обоим концам.

Итак, омметр измеряет сопротивление между ползунком и точкой, в которой сошлись оба конца обмотки. Обозначим ползунок $A$ а общую точку концов — $B$

Шаг 2. Две части обмотки включены параллельно

Обмотка намотана равномерно, поэтому сопротивление куска проволоки пропорционально его длине. Пусть сопротивление части обмотки от левого конца до ползунка равно $x$ ( $0 \le x \le R$ ). Тогда часть от ползунка до правого конца имеет сопротивление $R - x$

Обе части начинаются в точке $A$ (ползунок) и заканчиваются в точке $B$ (соединённые концы). Два проводника с общими началом и концом — это параллельное соединение. Именно его и «видит» омметр. Цилиндр и витки здесь ни при чём: ток постоянный, важна только длина проволоки по обе стороны от ползунка.

Эквивалентная схема: между ползунком

A

и общей точкой концов

B

включены параллельно две части обмотки —

x

R - x

Омметр измеряет сопротивление именно между

A

B

Шаг 3. Показание омметра как функция положения ползунка

Для двух параллельных резисторов $R_1 = x$ и $R_2 = R - x$

\dfrac{1}{R_\Omega} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{R-x}.

Приводим к общему знаменателю:

\dfrac{1}{R_\Omega} = \dfrac{(R-x) + x}{x\,(R-x)} = \dfrac{R}{x\,(R-x)},

откуда

R_\Omega(x) = \dfrac{x\,(R-x)}{R}.

Проверим крайние положения: при $x = 0$ и при $x = R$ одна из ветвей имеет нулевое сопротивление, она закорачивает вторую, и $R_\Omega = 0$ Между этими положениями показание больше нуля, значит, где-то посередине есть максимум.

Шаг 4. Ищем наибольшее значение

Нужен максимум выражения $x\,(R - x)$ на отрезке $0 \le x \le R$ Выделим полный квадрат:

x\,(R-x) = Rx - x^2 = \dfrac{R^2}{4} - \left(x - \dfrac{R}{2}\right)^2.

Вычитаемое $(x - R/2)^2$ не меньше нуля и обращается в нуль только при $x = R/2$ Поэтому наибольшее значение произведения равно $R^2/4$ и достигается ровно в середине обмотки.

Тот же вывод даёт неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

\sqrt{x\,(R-x)} \le \dfrac{x + (R-x)}{2} = \dfrac{R}{2}.

Подставляем в формулу шага 3:

R_{\max} = \dfrac{1}{R}\cdot\dfrac{R^2}{4} = \dfrac{R}{4}.

Показание омметра

R_\Omega = \dfrac{x(R - x)}{R}

при

R = 16

Ом: парабола с нулями на концах обмотки и максимумом

4

Ом при

x = 8

Ом (ползунок посередине).

Шаг 5. Подстановка чисел и ответ

R_{\max} = \dfrac{R}{4} = \dfrac{16\ \text{Ом}}{4} = 4\ \text{Ом}.

Число получилось целым, округлять не нужно. Наибольшее показание омметра — $4$ Ом, оно достигается, когда ползунок стоит точно посередине обмотки (обе половины по $8$ Ом, параллельно — $4$ Ом).

Проверка

Размерность: $x(R-x)/R$ имеет размерность $\text{Ом}\cdot\text{Ом}/\text{Ом} = \text{Ом}$ — верно. Предельные случаи: при $x \to 0$ или $x \to R$ показание стремится к нулю (одна ветвь закорочена) — согласуется с формулой. Второй способ: при $x = R/2$ две ветви по $8$ Ом параллельно дают

\dfrac{8 \cdot 8}{8 + 8} = 4\ \text{Ом}.

Сдвинем ползунок, например, к $x = 5$ Ом:

\dfrac{5 \cdot 11}{16} \approx 3{,}44\ \text{Ом} < 4\ \text{Ом},

как и должно быть для максимума в середине. Численный перебор по $x$ с шагом $0{,}00016$ Ом подтверждает: максимум $4{,}000$ Ом при $x = 8{,}00$ Ом.

Ответ

4 Ом

Главная идея

Концы обмотки соединены, поэтому омметр измеряет не «кусок реостата», а параллельное соединение двух частей обмотки по обе стороны от ползунка: $R_\Omega = x(R-x)/R$ Произведение двух чисел с постоянной суммой наибольшее, когда числа равны, — отсюда $R_{\max} = R/4$

Если в задаче про реостат/потенциометр оба конца обмотки соединены проводом, а омметр подключён между этим общим узлом и ползунком, прибор видит параллельное соединение двух частей обмотки. Вопрос «найти наибольшее/наименьшее показание» при этом сводится к экстремуму произведения $x(R-x)$ при фиксированной сумме $R$ максимум в середине, минимум (ноль) по краям. Если же соединить ползунок с одним концом, соответствующая часть обмотки закорачивается; между этим узлом и другим концом остаётся только вторая часть.

Где легко ошибиться

Считать, что омметр измеряет только левую часть обмотки (от ползунка до того конца, к которому он «подключён на рисунке»), и отвечать $R_{\max} = R = 16$ Ом. На схеме левый и правый концы соединены проводом, поэтому второй вывод омметра подключён к обоим концам сразу, и правая часть обмотки шунтирует левую. Из-за этого показание никогда не превышает $R/4$

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 8.1 (ID 6057).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Параллельное соединение
Максимум произведения при постоянной сумме

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →