Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №4 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Тонкостенный цилиндр плавает (см. рис. 1) у поверхности жидкости. Плотность жидкости $\rho = 800$ кг/м $^3$ объём цилиндра $V = 1$ л, отношение $\dfrac{h}{H} = 0{,}5$ Затем цилиндр погружают в жидкость и оставляют на дне (см. рис. 2). Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Найдите силу, с которой цилиндр действует на дно. В ответе укажите целое число [Н].

Дано: $\rho = 800$ кг/м $^3$ $V = 1$ л $= 10^{-3}$ м $^3$ $\dfrac{h}{H} = 0{,}5$ $g = 10$ м/с $^2$ При решении используем идеализацию тонкостенного цилиндра: объёмом материала стенок пренебрегаем при вычислении силы Архимеда на дне. Рис. 1: цилиндр плавает дном вниз, открыт сверху, осадка $h$ высота $H$ Рис. 2: цилиндр лежит на боку на дне сосуда открытым концом в жидкость, целиком под уровнем, так что жидкость заполняет его изнутри. Найти: силу $N$ с которой цилиндр давит на дно.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Осадка выдаёт массу: сила на дно при разных ρ, V и h/H

Как меняется сила, с которой цилиндр давит на дно, если менять плотность жидкости, объём цилиндра и глубину осадки h/H? И насколько ошибается тот, кто считает цилиндр на дне сплошным телом объёма V?

Плотность жидкости ρ, кг/м³Объём цилиндра V, лОтношение h/H

Модель загружается…

Модель принимает выведенную формулу N = ρgV·h/H, g = 10 м/с² и нулевой объём стенок как данность; она иллюстрирует зависимость, но не доказывает её и не учитывает реальную толщину стенок.

Попробуйте сами. Масса цилиндра в условии не дана — но рис. 1 её выдаёт: плавающее тело «взвешивает» само себя. Найдите массу по осадке $h$ а потом честно перечислите все силы, действующие на цилиндр, лежащий на дне. Какой объём жидкости он на самом деле вытесняет на рис. 2?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Подсказка 1. Задача на два равновесия. Первое — плавание (рис. 1): сила тяжести уравновешена силой Архимеда, причём вытесненный объём — это часть цилиндра ниже уровня жидкости, $S h$ Второе — на дне (рис. 2): сила тяжести, сила Архимеда и реакция дна. Ключевой вопрос: чему равен вытесненный объём у тонкостенного цилиндра, внутрь которого свободно зашла жидкость?

Подсказка 2

Подсказка 2. Запишите условие плавания $mg = \rho g S h$ и заметьте, что $V = S H$ Тогда неизвестная площадь $S$ исключается, и масса выражается только через данные условия: $m = \rho V \dfrac{h}{H}$ Теперь запишите условие равновесия по вертикали для цилиндра на дне и подумайте, какой объём подставлять в силу Архимеда.

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Рис. 2 читаем так: тонкостенный цилиндр лежит на боку на дне сосуда открытым концом в жидкость. Г-образный контур — это его дно (вертикальная линия слева) и верхняя стенка, а толстая линия на дне сосуда — нижняя стенка. Цилиндр целиком под уровнем и заполнен жидкостью. При любой другой ориентации, если внутри жидкость, ответ тот же.
При вычислении силы Архимеда на дне используем идеализацию V_ст ≈ 0. Толщина и геометрия стенок не заданы, поэтому численную погрешность и сохранение округления до целого отдельно не утверждаем.

Шаг 1. Плавание: цилиндр взвешивает сам себя

На рис. 1 цилиндр покоится, значит, силы на него скомпенсированы. Действуют две силы: сила тяжести $m\vec g$ вниз и сила Архимеда $\vec F_A$ вверх. По закону Архимеда $F_A = \rho g V_{\text{погр}}$ , где $V_{\text{погр}}$ — объём части цилиндра ниже уровня жидкости. Это объём «столбика» с площадью дна $S$ и высотой осадки $h$ $V_{\text{погр}} = S h$ (внутри цилиндра воздух, он жидкость не вытесняет, но весь контур ниже уровня — вытесняет). Условие равновесия:

mg = \rho g S h \quad\Rightarrow\quad m = \rho S h.

Именно так плавающее тело сообщает свою массу: по осадке.

Плавание: сила Архимеда F_A = ρgSh уравновешивает силу тяжести mg (обе стрелки из центра, одной длины); вытесненный объём V_погр = Sh (выделен) — часть контура цилиндра ниже уровня, высотой h.

Шаг 2. Исключаем неизвестную площадь через объём

Площадь дна $S$ в условии не дана, зато дан объём цилиндра $V$ и отношение $\dfrac{h}{H}$ Для цилиндра $V = S H$ откуда $S = \dfrac{V}{H}$ Подставляем в результат шага 1:

m = \rho \cdot \dfrac{V}{H}\cdot h = \rho V \dfrac{h}{H}.

Численно:

m = 800 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5 = 0{,}4\ \text{кг},

mg = 0{,}4 \cdot 10 = 4\ \text{Н}.

Обратите внимание: $S$ и $H$ по отдельности не нужны — работает только их произведение и отношение $h/H$

Шаг 3. На дне: какие силы действуют на цилиндр

Посмотрим внимательно на рис. 2: цилиндр лежит на боку (слева — его дно, сверху и снизу — стенки), открытый конец обращён в жидкость, и весь цилиндр находится ниже уровня. Воздуху внутри негде запереться — при погружении он вышел через открытый конец, и внутри цилиндра теперь та же жидкость, что и снаружи. На цилиндр действуют: сила тяжести $m\vec g$ (вниз), сила реакции дна $\vec N$ (вверх) и сила Архимеда $\vec F_A$ (вверх). Но теперь вытесненный объём — это только объём материала стенок $V_{\text{ст}}$ жидкость внутри цилиндра никуда не вытеснена, она давит на стенку изнутри с тем же давлением, что и снаружи на той же глубине, и эти давления компенсируются. То же и для нижней стенки, лежащей на дне сосуда: она не присосана ко дну, жидкость подтекает и под неё, поэтому давление на неё снизу и сверху тоже одинаково. В принятом тонкостенном приближении пренебрегаем объёмом материала стенок $V_{\text{ст}}$ при вычислении выталкивающей силы, поэтому

F_A = \rho g V_{\text{ст}} \approx 0.

Условие равновесия по вертикали:

N + F_A = mg \quad\Rightarrow\quad N = mg - \rho g V_{\text{ст}} \approx mg.

По третьему закону Ньютона цилиндр давит на дно с силой, равной по модулю $N$

На дне: цилиндр лежит на боку открытым концом в жидкость, внутри — жидкость. Она давит на тонкую стенку изнутри и снаружи одинаково (стрелки давления компенсируются); под нижнюю стенку жидкость тоже подтекает. Сила Архимеда исчезает, и реакция дна N уравновешивает силу тяжести mg. Обе силы приложены к цилиндру; они показаны в точке, соединённой с ним пунктиром.

Шаг 4. Общая формула, подстановка и ответ

В принятом приближении подставляем массу из шага 2:

N = mg = \rho g V \dfrac{h}{H}.

Числа:

N = 800 \cdot 10 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5 = 4\ \text{Н}.

В этой идеализированной модели получилось ровно $4$ Н. Численную погрешность для реальных стенок без их размеров установить нельзя.

Ответ: $N = 4$ Н.

Проверка

Проверка размерности:

[\rho g V] = \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot \text{м}^3 = \dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2} = \text{Н},

множитель $h/H$ безразмерный. Предельные случаи: при $h/H \to 0$ цилиндр почти невесомый — он почти не давит на дно, $N \to 0$ при $h/H \to 1$ цилиндр плавает вровень с краем, его масса $\rho V$ и $N = \rho g V = 8$ Н — разумно. Эти предельные случаи относятся к идеализированной модели. Для стенок конечной толщины поправка равна $\rho g V_{\text{ст}}$ а её величина зависит от геометрии и толщины стенок. Эти данные не заданы, поэтому слово «тонкостенный» здесь означает принятое пренебрежение объёмом стенок, а не доказанную гарантию округления до $4$ Н.

Ответ

4 Н

Главная идея

Плавание цилиндра на первом рисунке — это скрытое «взвешивание»: $m = \rho V\,h/H$ А на дне тонкостенный цилиндр, заполненный жидкостью, почти ничего не вытесняет: сила Архимеда действует только на объём стенок, и в принятом тонкостенном приближении реакция дна равна силе тяжести.

Если в задаче не дана масса тела, но показано, как оно плавает, — масса определяется из условия плавания $mg = \rho g V_{\text{погр}}$ . Если затем тело открытое (стакан, труба, оболочка) оказывается под водой и заполняется жидкостью, вспоминайте, что Архимед «видит» только объём материала, а не геометрический объём контура.

Где легко ошибиться

Подставить в силу Архимеда на дне геометрический объём цилиндра $V = 1$ л, как будто это сплошное тело:

N = mg - \rho g V = 4 - 8 = -4\ \text{Н}.

Отрицательная реакция — сигнал ошибки: внутри цилиндра не воздух, а та же жидкость, она давит на стенки изнутри и снаружи одинаково, и вытеснен лишь объём тонких стенок. Объём $V$ работал только на рис. 1, где внутри был воздух и часть $S h$ действительно вытесняла жидкость.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 4.1 (ID 6041).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Сила Архимеда
Условие плавания
Реакция опоры

Приёмы решения: Уравнение сил · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →