Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №1 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В механической системе стержни $1$ и $2$ однородные (см. рис.), все нити лёгкие, трения нет. Масса стержня $1$ равна $M = 4$ кг. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Найдите силу натяжения нити А. В ответе укажите целое число [Н].

Дано: $M = 4$ кг — масса стержня $1$ $g = 10$ м/с $^2$ По рисунку: стержень $2$ разделён на четыре равные части; нить А держит его левый конец, а нить через блок — правый конец; левый конец стержня $1$ подвешен к стержню $2$ в точке на расстоянии $L/4$ от левого конца, правый конец стержня $1$ — на нити, перекинутой через блок. Масса стержня $2$ в условии не дана. Найти: $T_A$ (целое число, Н).

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Куда подвесить стержень 1: натяжение нити А и масса стержня 2

Как меняются натяжение нити А и «разрешённая» равновесием масса стержня $2$ если сдвигать точку подвеса левой нити стержня $1$ вдоль стержня $2$ и менять массу $M$

Масса стержня 1, M, кгПоложение точки подвеса, x/LУскорение свободного падения, g, м/с²

Модель загружается…

Модель использует уже выведенные формулы $T_A = Mg(1-a)$ и $m = M(1-a)$ где $a = x/L$ и лишь иллюстрирует зависимость; она не доказывает равновесие и не описывает, что произойдёт при другой массе стержня $2$ а крайний случай $a \to 1$ (обе нити стержня $1$ в одной точке, $T_A \to 0$ $m \to 0$ ) — вырожденный и показан только как предел формулы.

Попробуйте сами: начните со стержня $1$ — он висит на двух вертикальных нитях за концы. Что это говорит о натяжении каждой из них? Затем подумайте, как эта нить «возвращается» к стержню $2$ через блок, и как записать равновесие стержня $2$ если его масса неизвестна.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Это задача на статику: для каждого стержня по отдельности выполняются два условия — сумма сил равна нулю и сумма моментов относительно любой точки равна нулю. Начните со стержня $1$ (его масса известна), затем перейдите к стержню $2$ Нить, перекинутая через блок без трения в оси, имеет одинаковое натяжение по обе стороны от блока.

Подсказка 2

Стержень $1$ однородный и подвешен за концы на вертикальных нитях, поэтому момент относительно его середины даёт равные натяжения: $T = \dfrac{Mg}{2}$ в каждой нити. Эти же силы действуют на стержень $2$ вниз в точке подвеса (на расстоянии $L/4$ от левого конца) и вверх на правом конце (через блок). Теперь запишите условия равновесия стержня $2$ — и подумайте: относительно какой точки взять моменты, чтобы неизвестная масса стержня $2$ не вошла в уравнение?

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Нити стержня 1 натянуты одинаково

На стержень $1$ действуют три силы: сила тяжести $M\vec g$ приложенная к середине (стержень однородный), и натяжения двух вертикальных нитей $\vec T_1$ и $\vec T_2$ на концах. Чтобы узнать натяжения, не вводя лишних неизвестных, записываем условие моментов относительно середины стержня: плечо силы тяжести равно нулю, а плечи обоих натяжений равны $l/2$

T_1\cdot\dfrac{l}{2} = T_2\cdot\dfrac{l}{2}\quad\Rightarrow\quad T_1 = T_2 .

Условие равновесия сил по вертикали: $T_1 + T_2 = Mg$ Отсюда

T_1 = T_2 = T = \dfrac{Mg}{2}.

Длина стержня $1$ сократилась — она не важна, важно лишь, что стержень однородный и подвешен за концы.

Силы, действующие на стержень

1

сила тяжести

Mg

в середине и натяжения

T

двух вертикальных нитей на концах; плечи натяжений относительно середины равны, поэтому

T = Mg/2

Шаг 2. Как эти силы передаются стержню 2

Левая нить стержня $1$ привязана к стержню $2$ в точке на расстоянии $L/4$ от его левого конца (граница первой закрашенной четверти на рисунке). По третьему закону Ньютона она тянет стержень $2$ вниз с силой $T = Mg/2$

Правая нить стержня $1$ перекинута через блок и закреплена на правом конце стержня $2$ В условии сказано, что трения нет, — значит, ось блока не создаёт момента трения. Блок покоится, поэтому сумма моментов сил относительно его оси равна нулю: обе ветви нити тянут за одинаковый радиус, и их натяжения равны. Масса блока здесь не важна: сила тяжести блока проходит через ось и момента не даёт. Поэтому правый конец стержня $2$ тянется вверх с той же силой $T = Mg/2$

Итак, на стержень $2$ действуют четыре силы:

$\vec T_A$ — вверх, на левом конце;
$Mg/2$ — вниз, в точке подвеса $L/4$
сила тяжести $m\vec g$ — вниз, в середине;
$Mg/2$ — вверх, на правом конце.

Масса $m$ стержня $2$ в условии не дана — это главная трудность задачи.

Силы на стержень

2

и плечи относительно его середины

O

T_A

вверх (плечо

L/2

) поворачивает по часовой стрелке;

Mg/2

вниз в точке подвеса (плечо

L/4

) и

Mg/2

вверх на правом конце (плечо

L/2

) — против часовой стрелки; сила тяжести

mg

проходит через

O

и момента не создаёт.

Шаг 3. Моменты относительно середины стержня 2

Чтобы неизвестная масса $m$ не мешала, выбираем ось моментов в середине стержня $2$ (точка $O$ ): плечо силы тяжести $mg$ равно нулю, и она выпадает из уравнения. Плечи остальных сил относительно $O$

у $T_A$ на левом конце — $L/2$
у силы $Mg/2$ в точке подвеса — $L/2 - L/4 = L/4$
у силы $Mg/2$ на правом конце — $L/2$

Направления вращения определяем явно. Сила $T_A$ приложена слева от $O$ и направлена вверх — она поднимает левый конец, то есть поворачивает стержень по часовой стрелке. Сила $Mg/2$ вниз слева от $O$ опускает левый конец — поворот против часовой стрелки. Сила $Mg/2$ вверх справа от $O$ поднимает правый конец — тоже против часовой стрелки. Равновесие: момент по часовой стрелке равен сумме моментов против часовой стрелки:

T_A\cdot\dfrac{L}{2} = \dfrac{Mg}{2}\cdot\dfrac{L}{4} + \dfrac{Mg}{2}\cdot\dfrac{L}{2}.

Правую часть упростим, вынеся общий множитель $Mg/2$

\dfrac{Mg}{2}\left(\dfrac{L}{4}+\dfrac{L}{2}\right) = \dfrac{Mg}{2}\cdot\dfrac{3L}{4} = \dfrac{3MgL}{8}.

Осталось разделить обе части уравнения на $L/2$

T_A = \dfrac{3MgL}{8}\cdot\dfrac{2}{L} = \dfrac{3}{4}\,Mg.

Длина $L$ сократилась — ответ зависит только от $M$ $g$ и положения точки подвеса ( $L/4$ ).

Шаг 4. Подстановка и проверка согласованности

T_A = \dfrac{3}{4}Mg = \dfrac{3}{4}\cdot 4\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}^2 = 30\ \text{Н}.

Ответ — целое число, округление не требуется: $T_A = 30$ Н.

Полезно убедиться, что система действительно может висеть так, как нарисована. Условие равновесия сил для стержня $2$ по вертикали (вверх — $T_A$ и $Mg/2$ вниз — $mg$ и $Mg/2$ ):

T_A + \dfrac{Mg}{2} = mg + \dfrac{Mg}{2}.

Отсюда $mg = T_A$ то есть

m = \dfrac{T_A}{g} = \dfrac{3}{4}M = 3\ \text{кг}.

Масса стержня $2$ не была дана именно потому, что равновесие само её задаёт: при другой массе стержень $2$ начал бы поворачиваться.

Проверка

Размерность: $[Mg] = \text{кг}\cdot\text{м/с}^2 = \text{Н}$ — верно.

Второй способ — моменты для стержня $2$ относительно его левого конца. Сила тяжести $mg$ теперь входит с плечом $L/2$ но из уравнения сил $mg = T_A$ По часовой стрелке поворачивают $Mg/2$ в точке подвеса и $mg$ против — $Mg/2$ на правом конце:

\dfrac{Mg}{2}\cdot\dfrac{L}{4} + T_A\cdot\dfrac{L}{2} = \dfrac{Mg}{2}\cdot L.

Отсюда получаем то же значение:

T_A = Mg\left(1-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{3}{4}Mg = 30\ \text{Н}.

Предельные случаи общей формулы $T_A = Mg(1-a)$ где $a = x/L$ — доля длины стержня $2$ до точки подвеса:

при $a\to 1$ обе нити стержня $1$ приходят в одну точку, их действия на стержень $2$ взаимно уничтожаются, и равновесие требует $m\to 0$ $T_A\to 0$
при $a = 0$ нить стержня $1$ и нить А приложены в одной точке: $T_A = Mg$ $m = M$

Численная проверка полной системы из четырёх уравнений (силы и моменты для обоих стержней) даёт $T_A = 30{,}0$ Н и $m = 3{,}0$ кг при любых длинах стержней.

Ответ

$T_A = \dfrac{3}{4}Mg = 30$ Н

Главная идея

Разбираем систему по телам: стержень $1$ на двух нитях за концы даёт одинаковые натяжения $Mg/2$ блок переносит эту же силу на правый конец стержня $2$ вверх. Неизвестную массу стержня $2$ обходим, записывая моменты относительно его середины, — и получаем $T_A = \dfrac{3}{4}Mg$

Несколько тел, связанных нитями и блоком, и у одного из тел «не хватает» данных (масса не дана). Это сигнал: рассмотреть каждое тело отдельно, передать силы через нити и блок, а для тела с неизвестной массой писать уравнение моментов относительно его центра масс — тогда неизвестная сила тяжести из уравнения выпадает, а сама масса потом находится из условия равновесия сил.

Где легко ошибиться

Считать стержень $2$ невесомым, раз его масса не дана. Тогда из уравнения сил получится $T_A = 0$ а уравнение моментов вообще не выполнится — система не может быть в равновесии. На самом деле стержень $2$ имеет массу, которую условие задаёт неявно, через само равновесие: $m = \dfrac{3}{4}M = 3$ кг. Правильный приём — не угадывать массу, а выбрать ось моментов так, чтобы неизвестная сила тяжести не входила в уравнение.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 1.1 (ID 6029).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Равновесие сил
Момент силы
Идеальный блок

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →