Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №10 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Ученик бросает с крутого берега реки камень. Через $\tau = 1{,}5$ с после старта скорость камня стала горизонтальной. Продолжительность полёта от старта до падения в реку $T = 5$ с. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. На какой высоте, отсчитанной от водной поверхности, находится точка старта? В ответе укажите целое число [м].

Дано: $\tau = 1{,}5$ с — время до момента, когда скорость стала горизонтальной; $T = 5$ с — полное время полёта до воды; $g = 10$ м/с $^2$ Найти $H$ — высоту точки старта над водой, целое число метров.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Полёт камня: от чего зависит высота берега

Как меняется высота точки старта над водой H, если менять момент τ, когда скорость горизонтальна, и полное время полёта T? Почему при τ → T/2 высота стремится к нулю?

τ — время до вершины, сT — полное время полёта, сg — ускорение свободного падения, м/с²Ход демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель лишь иллюстрирует формулу H = gT(T/2 − τ), выведенную в решении (горизонтальная скорость взята условно и на H не влияет); анимация не является доказательством и не учитывает сопротивление воздуха. При τ > T/2 параметры несовместимы со стартом над водой, поэтому физический полёт не изображается. Равенство τ = T/2 — допустимый граничный случай H = 0.

Попробуйте сами: ни модуль скорости, ни угол броска не даны — и всё же их хватает. Подумайте, что именно говорит условие «через $\tau$ скорость стала горизонтальной» о вертикальной составляющей скорости в момент старта, и запишите закон движения по вертикали.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Движение по вертикали и по горизонтали независимы. Горизонтальная скорость вообще не нужна: высота определяется только вертикальным движением, а оно — равноускоренное с ускорением $g$ направленным вниз. Смотрите только на вертикальную проекцию скорости $v_y$

Подсказка 2

«Скорость горизонтальна» означает $v_y = 0$ Так как $v_y(t) = v_{0y} - gt$ из условия $v_y(\tau) = 0$ сразу получается $v_{0y} = g\tau$ — вот и вся «скрытая» начальная вертикальная скорость. Теперь запишите закон движения по вертикали $y(t)$ с этим $v_{0y}$ и условие попадания камня на уровень воды в момент $t = T$

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Что скрыто в словах «скорость стала горизонтальной»

Сопротивления воздуха нет, значит на камень действует только сила тяжести, и его ускорение $\vec a = \vec g$ направлено вертикально вниз. Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ при этом не меняется, а вертикальная за каждую секунду убывает на $g \cdot 1\ \text{с} = 10$ м/с:

v_y(t) = v_{0y} - gt.

Скорость горизонтальна ровно тогда, когда $v_y = 0$ — это верхняя точка траектории. По условию это происходит при $t = \tau$

v_{0y} - g\tau = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{0y} = g\tau = 10 \cdot 1{,}5 = 15 \text{ м/с}.

Угол броска и модуль $v_0$ по отдельности не нужны: за высоту «отвечает» только $v_{0y}$

Разложение скорости: горизонтальная составляющая v₀ₓ сохраняется, вертикальная v₀ᵧ убывает на 10 м/с за каждую секунду и обращается в нуль через τ — значит, v₀ᵧ = gτ.

Шаг 2. Закон движения по вертикали

Направим ось $y$ вертикально вверх, начало отсчёта — в точке старта. Для равноускоренного движения

y(t) = v_{0y}t - \dfrac{gt^2}{2} = g\tau\, t - \dfrac{gt^2}{2}.

Вода находится на $H$ ниже старта, поэтому в момент падения $t = T$ координата равна $y(T) = -H$ Горизонтальное движение в это уравнение не входит — значит, данных достаточно.

Шаг 3. Решаем относительно $H$

Подставляем $t = T$ и $y = -H$

-H = g\tau T - \dfrac{gT^2}{2}.

Меняем знак и выносим общий множитель $gT$

H = \dfrac{gT^2}{2} - g\tau T = gT\left(\dfrac{T}{2} - \tau\right).

Формула осмысленна: при $\tau = T/2$ получается $H = 0$ — камень вернулся бы на уровень старта (подъём и спуск симметричны), а при $\tau = 0$ (горизонтальный бросок) $H = gT^2/2$ — обычное свободное падение за время $T$

График vᵧ(t): прямая от gτ до −g(T−τ). Площадь под графиком равна перемещению по вертикали: зелёный треугольник S₁ — подъём h над стартом, красный S₂ — спуск h + H до воды. Их разность S₂ − S₁ и есть H = gT(T/2 − τ). Формула H = g(T−τ)²/2 забывает вычесть зелёный треугольник.

Шаг 4. Подстановка и ответ

H = 10 \cdot 5 \cdot \left(\dfrac{5}{2} - 1{,}5\right) = 50 \cdot 1{,}0 = 50 \text{ м}.

Число получилось целым, округлять не нужно. Точка старта находится на высоте $H = 50$ м над водой.

Проверка

Второй способ — через вершину траектории. За время $\tau$ камень поднимается над стартом на

h = \dfrac{g\tau^2}{2} = \dfrac{10 \cdot 1{,}5^2}{2} = 11{,}25 \text{ м}.

Из вершины он падает без начальной вертикальной скорости за оставшееся время $T - \tau = 3{,}5$ с на

h + H = \dfrac{g(T-\tau)^2}{2} = \dfrac{10 \cdot 3{,}5^2}{2} = 61{,}25 \text{ м}.

Вычитаем подъём:

H = 61{,}25 - 11{,}25 = 50 \text{ м}

— та же величина. Размерность: $[gT(T/2-\tau)] = \text{м/с}^2 \cdot \text{с} \cdot \text{с} = \text{м}$ . Предельный случай $\tau = T/2$ даёт $H = 0$ — возврат на уровень старта, как и должно быть при симметричном полёте.

Ответ

50 м

Главная идея

Высота зависит только от вертикального движения, а «скорость стала горизонтальной» — это зашифрованное $v_{0y} = g\tau$ После этого закон $y(t)$ с условием $y(T) = -H$ даёт ответ без знания угла и модуля начальной скорости.

Если в задаче о броске не дан ни угол, ни $v_0$ но назван момент, когда скорость горизонтальна (или камень «на максимальной высоте»), — это задано $v_{0y}$ вертикальная скорость обнуляется ровно за $\tau = v_{0y}/g$ Дальше работайте только с осью $y$

Где легко ошибиться

Считать, что после вершины камень падает за время $T - \tau$ с самого уровня старта, и писать

H = \dfrac{g(T-\tau)^2}{2} = 61{,}25 \text{ м}.

Это высота падения из вершины, а вершина находится выше старта на

h = \dfrac{g\tau^2}{2} = 11{,}25 \text{ м};

её нужно вычесть. Симметрия «подъём — спуск» работает только до уровня старта, а не до воды.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 10.1 (ID 6065).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Проекции скорости
Равноускоренное движение

Приёмы решения: Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →