Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №2 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В электрической цепи (см. схему на рис.) напряжение источника $U = 12$ В. После подключения резистора $R$ показания приборов изменились в $n = 5$ раз. Найдите показание вольтметра после подключения резистора. В ответе укажите целое число [В].

Дано: $U = 12$ В — напряжение источника; $n = 5$ — во столько раз изменились показания амперметра и вольтметра после подключения $R$ Схема: источник $U$ последовательно с ним резистор $r$ амперметр $A$ и вольтметр $V$ резистор $R$ подключается параллельно вольтметру. Сопротивления $r$ $R$ и сопротивление вольтметра не даны. Найти показание вольтметра $U_2$ после подключения $R$ (целое число вольт).

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Реальный вольтметр: как делится напряжение источника

Как показания вольтметра до и после подключения R зависят от U и n — и почему ответ не зависит от сопротивления r?

Напряжение источника U, ВВо сколько раз изменились показания nСопротивление r (в условии не дано), Ом

Модель загружается…

Модель подставляет уже выведенные формулы U₁ = nU/(n+1), U₂ = U/(n+1) и «сопротивление вольтметра = n·r» и не является их доказательством; она иллюстрирует зависимость, а не проверяет вывод.

Попробуйте сами. Сначала ответьте на простой вопрос: если бы вольтметр был идеальным, показал бы амперметр хоть что-нибудь до подключения $R$ Значит, вольтметр здесь — обычный проводник с большим сопротивлением, и через него течёт ток. Подумайте, в какую сторону изменится каждое из показаний, когда параллельно вольтметру встанет $R$ и запишите закон Ома для всей цепи до и после.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

До подключения $R$ вся цепь — это одна последовательная цепочка: резистор $r$ амперметр и вольтметр (амперметр ток не меняет, а его небольшое сопротивление можно считать частью $r$ ). Напряжение источника всегда делится между $r$ и участком с вольтметром: $U = I r + U_V$ Теперь задайте себе два вопроса. Когда параллельно вольтметру встаёт $R$ сопротивление этого участка становится больше или меньше? Значит, ток через амперметр растёт или падает, а доля напряжения, которая достаётся участку с вольтметром, — растёт или падает? Ответы подскажут, какое показание выросло в $n$ раз, а какое уменьшилось в $n$ раз.

Подсказка 2

Запишите закон Ома для всей цепи дважды — до и после: $U - U_1 = I_1 r$ и $U - U_2 = I_2 r$ где $U_1$ $U_2$ — показания вольтметра, $I_1$ $I_2$ — показания амперметра. Подставьте $I_2 = n I_1$ и $U_2 = U_1 / n$ и разделите второе равенство на первое: сопротивление $r$ сократится, и останется уравнение только на $U_1$

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Понимаем, что вольтметр — реальный прибор

До подключения $R$ амперметр и вольтметр включены последовательно с резистором $r$ Если бы вольтметр был идеальным (бесконечное сопротивление), ток в цепи был бы равен нулю, амперметр показывал бы $0$ и его показание не могло бы «измениться в $n$ раз». Значит, у вольтметра конечное сопротивление $R_V$ через него течёт ток $I_1$ и он показывает напряжение на самом себе $U_1 = I_1 R_V$ Именно это и есть главное наблюдение задачи: вольтметр здесь работает как обычный резистор, который «измеряет напряжение на себе».

Шаг 2. В какую сторону меняются показания

Когда резистор $R$ подключают параллельно вольтметру, сопротивление этого участка уменьшается: $R_{\text{уч}} = \dfrac{R R_V}{R + R_V} < R_V$ . Общее сопротивление цепи $r + R_{\text{уч}}$ падает, поэтому ток через источник, резистор $r$ и амперметр растёт: $I_2 = n I_1$ Участок с вольтметром получает долю напряжения $\dfrac{R_{\text{уч}}}{r + R_{\text{уч}}}$ — эта дробь растёт вместе с $R_{\text{уч}}$ а $R_{\text{уч}}$ уменьшилось, значит, вольтметру достаётся меньше: $U_2 = \dfrac{U_1}{n}$

Переберём остальные варианты, чтобы не осталось сомнений. «Оба уменьшились» невозможно: меньший ток при том же $U$ потребовал бы большего сопротивления цепи, а мы его уменьшили. «Оба выросли» тоже невозможно: доля напряжения на участке с вольтметром при любом $R$ только падает, как показано выше. Остаётся единственная комбинация: амперметр — вверх в $n$ раз, вольтметр — вниз в $n$ раз.

Два состояния цепи. Сверху — до подключения R: ток I₁ течёт через r, амперметр и вольтметр, вольтметр показывает U₁. Снизу — R параллельно вольтметру: ток вырос до I₂ = nI₁, на r падает больше, вольтметру остаётся U₂ = U₁/n.

Шаг 3. Закон Ома для всей цепи в двух состояниях

Напряжение источника $U$ в обоих случаях равно сумме падения напряжения на $r$ и напряжения на участке с вольтметром (которое и показывает вольтметр):

U = I_1 r + U_1, \qquad U = I_2 r + U_2.

Сопротивления $r$ $R$ $R_V$ неизвестны, но они нам и не нужны: выразим из этих уравнений $I_1 r$ и $I_2 r$ и воспользуемся тем, что $I_2 = n I_1$

U - U_2 = I_2 r = n I_1 r = n\,(U - U_1).

Получили одно уравнение, связывающее только $U$ $U_1$ и $U_2$ (Если амперметр тоже имеет сопротивление, оно просто входит в $r$ — ответ от этого не меняется.)

Шаг 4. Решаем уравнение относительно показаний вольтметра

Подставим $U_2 = \dfrac{U_1}{n}$ в уравнение шага 3:

U - \dfrac{U_1}{n} = nU - nU_1.

Соберём слагаемые с $U_1$ слева, а слагаемые с $U$ — справа:

nU_1 - \dfrac{U_1}{n} = nU - U.

Вынесем $U_1$ за скобки слева и $U$ — справа:

U_1 \cdot \dfrac{n^2 - 1}{n} = U\,(n - 1).

Делим на $n - 1 \ne 0$ (при $n = 1$ ничего бы не менялось) и учитываем $n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$

U_1 = \dfrac{nU}{n+1}, \qquad U_2 = \dfrac{U_1}{n} = \dfrac{U}{n+1}.

Получилась общая формула, в которую не вошло ни одно из неизвестных сопротивлений.

Шаг 5. Подстановка и ответ

U_2 = \dfrac{U}{n+1} = \dfrac{12\ \text{В}}{5 + 1} = 2\ \text{В}.

До подключения вольтметр показывал $U_1 = \dfrac{5 \cdot 12}{6} = 10$ В, после — $2$ В: действительно, в $n = 5$ раз меньше. Число уже целое, округлять не нужно. Ответ: $2$ В.

Как напряжение источника U = 12 В делится между резистором r (жёлтая полоска) и участком с вольтметром (синяя). До подключения R: 2 В + 10 В, после: 10 В + 2 В — полоски поменялись местами, обе пары связаны множителем n = 5.

Проверка

Второй способ — через сопротивления. Пусть $R_{\text{уч}}$ — сопротивление участка «вольтметр и $R$ параллельно». Условие для амперметра:

\dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{r + R_V}{r + R_{\text{уч}}} = n.

Условие для вольтметра:

\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{R_V\,(r + R_{\text{уч}})}{R_{\text{уч}}\,(r + R_V)} = n.

Перемножим эти два равенства — множители с $r$ сократятся:

\dfrac{R_V}{R_{\text{уч}}} = n^2, \qquad R_{\text{уч}} = \dfrac{R_V}{n^2}.

Подставим это в условие для амперметра:

r + R_V = n r + \dfrac{R_V}{n},

R_V \cdot \dfrac{n - 1}{n} = r\,(n - 1),

R_V = n r.

Тогда до подключения вольтметр показывал

U_1 = U \cdot \dfrac{R_V}{r + R_V} = \dfrac{nU}{n+1} = 10\ \text{В},

а после — $U_2 = \dfrac{U_1}{n} = 2$ В. Совпало с ответом.

Размерность. $U_2 = \dfrac{U}{n+1}$ — напряжение, делённое на безразмерное число, то есть вольты.

Предельный случай. При $n \to \infty$ сопротивление вольтметра огромно по сравнению с $r$ прибор почти идеальный. Тогда $U_1 \to U$ а $U_2 \to 0$ почти идеальный вольтметр показывал всё напряжение источника, а после шунтирования резистором $R$ который по условию должен быть во много раз меньше $R_V$ почти всё напряжение уходит на $r$

Численная проверка. При $r = 10$ Ом, $R_V = 50$ Ом, $R = 2{,}08$ Ом прямой расчёт цепи даёт $I_2/I_1 = 5{,}00$ $U_1/U_2 = 5{,}00$ $U_2 = 2{,}00$ В. Результат не меняется при $r = 0{,}5$ Ом и $r = 1000$ Ом.

Ответ

2 В

Главная идея

Вольтметр здесь — не «идеальный наблюдатель», а резистор с большим сопротивлением, через который течёт ток; закон Ома для всей цепи $U = Ir + U_V$ записанный до и после подключения $R$ вместе с условием «ток вырос в $n$ раз, напряжение упало в $n$ раз» даёт ответ без знания сопротивлений.

Если в последовательной цепи стоит амперметр и вольтметр, а сопротивления не даны, но сказано, что показания «изменились в $n$ раз», — это задача на реальный вольтметр. Нужно: (1) понять, что приборы меняются в противоположные стороны; (2) записать одно и то же уравнение для двух состояний цепи; (3) поделить уравнения, чтобы неизвестные сопротивления сократились.

Где легко ошибиться

Считать вольтметр идеальным и писать «до подключения вольтметр показывает $U = 12$ В, после подключения $R$ — $12/5$ В». Тогда ответ получается нецелым ( $2{,}4$ В), а главное — при идеальном вольтметре в цепи до подключения $R$ вообще не было бы тока, и амперметр показывал бы ноль, который нельзя «увеличить в $n$ раз». Условие само говорит, что вольтметр пропускает ток, а часть напряжения источника $U - U_1$ с самого начала падает на резисторе $r$

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 2.1 (ID 6033).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Закон Ома
Соединение резисторов
Сопротивление вольтметра

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →