Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №3 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В системе (см. рис.) скорости блоков $V = 1$ м/с и $2V$ масса груза $1$ $m_1 = 0{,}5$ кг. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Найдите работу силы тяжести, действующей на груз $1$ за первые $T = 0{,}4$ с движения. В ответе укажите целое число [Дж].

Дано: $V = 1$ м/с (нижний блок, вверх); $2V = 2$ м/с (верхний блок, вверх); $m_1 = 0{,}5$ кг; $g = 10$ м/с $^2$ $T = 0{,}4$ с. Нить нерастяжима, один её конец закреплён на потолке, другой держит груз $1$ Найти: работу силы тяжести $A$ над грузом $1$ за время $T$ (целое число джоулей).

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Куда и с какой скоростью едет груз 1

Как меняются скорость груза, его подъём и работа силы тяжести, если менять скорость блоков V, отношение скоростей верхнего и нижнего блока k, массу m₁ и время T?

Скорость нижнего блока V, м/сОтношение скоростей блоков (верхний = k·V)Масса груза m₁, кгВремя T, сХод демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель использует уже выведенную формулу $v_1 = 2V(k-1)$ и $A = -m_1 g\,v_1 T$ при $g = 10$ м/с $^2$ и постоянных скоростях блоков; сумма $l_1 + l_2 + l_3$ на рисунке пересчитывается для контроля.

Попробуйте сами. Сила тяжести груза известна, не хватает только его перемещения за $0{,}4$ с. Нить не растягивается: если оба блока поднимаются, что происходит с длиной каждого вертикального участка нити и куда при этом движется груз $1$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Работа силы тяжести зависит только от вертикального перемещения груза: $A = -m_1 g\,h$ где $h$ — подъём груза (если груз опускается, $h<0$ ). Значит, вся задача — кинематика нити: найдите скорость груза $1$ из условия, что общая длина нерастяжимой нити не меняется.

Подсказка 2

Направьте ось $y$ вверх и запишите длину нити как сумму трёх вертикальных участков: от потолка до нижнего блока $l_1 = y_C - y_A$ между блоками $l_2 = y_B - y_A$ от верхнего блока до груза $l_3 = y_B - y_1$ За малое время $\Delta t$ каждый участок меняется на (скорость его верхнего конца минус скорость нижнего) $\cdot\Delta t$ например, $\Delta l_1 = -v_A\,\Delta t$ , потому что потолок неподвижен. Запишите так же $\Delta l_2$ и $\Delta l_3$ их сумма с $\Delta l_1$ равна нулю, отсюда выразите $v_1$

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Сводим задачу к кинематике

Сила тяжести груза $1$ постоянна: $\vec F = m_1\vec g$ по модулю $m_1 g = 0{,}5\cdot 10 = 5$ Н. Работа постоянной силы равна произведению силы на перемещение вдоль неё: $A = \vec F\cdot\vec s = -m_1 g\,h$ , где $h$ — перемещение груза вверх (ось $y$ направим вверх). Масса и $g$ известны, значит, нужно найти только $h$ за время $T$ а для этого — скорость груза $v_1$ Скорость груза в условии не дана: её придётся получить из того, что нить нерастяжима и связывает движение блоков и груза.

Шаг 2. Условие нерастяжимости нити

Введём координаты центров блоков $y_A$ (нижний, движется вверх со скоростью $v_A = V$ ) и $y_B$ (верхний, $v_B = 2V$ ), координату груза $y_1$ и неподвижную точку крепления на потолке $y_C$ Нить состоит из трёх вертикальных прямолинейных участков (дуги на блоках постоянны, их можно не учитывать):

l_1 = y_C - y_A,\qquad l_2 = y_B - y_A,\qquad l_3 = y_B - y_1 .

Длина нити $L = l_1 + l_2 + l_3 + \text{const}$ не меняется, поэтому за малое время $\Delta t$ сумма изменений участков равна нулю. Изменение каждого участка выражается через скорости точек:

\Delta l_1 = -v_A\,\Delta t,\qquad \Delta l_2 = (v_B - v_A)\,\Delta t,\qquad \Delta l_3 = (v_B - v_1)\,\Delta t .

Складываем и делим на $\Delta t$

-v_A + (v_B - v_A) + (v_B - v_1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_1 = 2v_B - 2v_A .

Три вертикальных участка нити l₁, l₂, l₃ и ось y, направленная вверх. Подъём верхнего блока удлиняет l₂ и l₃, подъём нижнего укорачивает l₁ и l₂; скорость груза v₁ (и даже её знак) пока неизвестна — её даёт условие l₁ + l₂ + l₃ = const.

Шаг 3. Скорость груза 1 и его подъём

Подставляем $v_A = V$ $v_B = 2V$

v_1 = 2\cdot 2V - 2V = 2V .

Знак получился положительный, то есть груз движется вверх со скоростью $2V = 2$ м/с. Это легко понять и «на пальцах»: подъём верхнего блока на $\Delta$ удлиняет оба участка $l_2$ и $l_3$ (нужно $2\Delta$ нити), а подъём нижнего блока на $\Delta$ укорачивает $l_1$ и $l_2$ (освобождает $2\Delta$ нити). Верхний блок за одно и то же время поднимается вдвое больше нижнего, нити не хватает, и она подтягивает груз вверх.

В условии скорости блоков заданы как фиксированные числа $V$ и $2V$ а движение рассматривается «за первые $T$ секунд». Мы принимаем, что блоки движутся с этими скоростями с самого начала и в течение всего интервала $T$ (никакого разгона в условии нет). Тогда постоянна и скорость груза, и его подъём равен

h = v_1 T = 2VT = 2\cdot 1\cdot 0{,}4 = 0{,}8\ \text{м}.

Шаг 4. Работа силы тяжести

Сила тяжести направлена вниз, перемещение груза — вверх, угол между ними $180^\circ$ поэтому работа отрицательна:

A = m_1 g\,h\cos 180^\circ = -m_1 g\cdot 2VT = -2m_1 g V T .

Подстановка:

A = -2\cdot 0{,}5\cdot 10\cdot 1\cdot 0{,}4 = -4\ \text{Дж}.

Ответ уже целое число, округление не требуется: $A = -4$ Дж.

Груз 1 за время T поднимается на h = 2VT, а сила тяжести m₁g направлена вниз: угол между силой и перемещением 180°, работа отрицательна.

Проверка

Размерность. Проверим, что $m_1 g V T$ измеряется в джоулях:

[m_1 g V T] = \text{кг}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\cdot\text{с} = \text{кг}\cdot\dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2} = \text{Дж}.

Предельный случай. Закрепим верхний блок ( $v_B = 0$ ) и будем поднимать только нижний со скоростью $V$ Это знакомый подвижный блок, и формула даёт

v_1 = 2v_B - 2v_A = -2V,

то есть груз опускается вдвое быстрее, чем поднимается подвижный блок, как и должно быть.

Второй способ: «бухгалтерия нити». Считаем конечные перемещения за $T = 0{,}4\ \text{с}$ без скоростей и уравнения связи.

Нижний блок поднялся на $VT = 0{,}4\ \text{м}$ Укоротились оба участка $l_1$ и $l_2$ поэтому освободилось вдвое больше нити: $0{,}8\ \text{м}$
Верхний блок поднялся на $2VT = 0{,}8\ \text{м}$ Удлинились оба участка $l_2$ и $l_3$ поэтому понадобилось вдвое больше нити: $1{,}6\ \text{м}$
Нужно $1{,}6\ \text{м}$ а освободилось только $0{,}8\ \text{м}$ Недостающие $0{,}8\ \text{м}$ нить может взять только у последнего участка $l_3$ то есть груз поднялся на $h = 0{,}8\ \text{м}$

Тот же результат для работы:

A = -m_1 g\,h = -0{,}5\cdot 10\cdot 0{,}8 = -4\ \text{Дж}.

Численная проверка. Прямое пошаговое отслеживание длины нити при смещении блоков даёт $-4{,}0\ \text{Дж}$

Ответ

$A = -4$ Дж (сила тяжести совершает отрицательную работу: груз $1$ поднимается на $0{,}8$ м).

Главная идея

Нерастяжимая нить — это уравнение связи: сумма длин её прямолинейных участков постоянна, поэтому сумма скоростей изменения этих участков равна нулю. Из этого одного уравнения находится скорость груза, а работа силы тяжести — просто $-m_1 g h$

Если в задаче даны скорости блоков (или их концов), а спрашивают про груз на нити — это «кинематика связей»: записывайте длину нити через координаты и считайте, на сколько меняется каждый участок за малое время $\Delta t$ (в старших классах то же самое делают производной). Работа силы тяжести при постоянной скорости считается без динамики — только через вертикальное перемещение.

Где легко ошибиться

Считать, что груз $1$ движется вниз: мол, конец нити «сходит» с верхнего блока вниз, значит, и груз опускается, и работа положительна ( $+4$ Дж). На самом деле верхний блок за то же время поднимается вдвое выше нижнего и «съедает» нить с обеих сторон быстрее, чем нижний её освобождает, поэтому свободный конец подтягивается вверх. Направление движения груза нужно именно вычислять из уравнения связи, а не угадывать по рисунку; знак работы зависит от него напрямую.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 3.1 (ID 6037).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

Постоянство длины нити
Работа постоянной силы
Знак работы

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →