Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №6 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Точечный источник $S$ движется (см. рис.) со скоростью $V = 1$ см/с, $A$ и $B$ — ближайшие к зеркалам $З_1$ и $З_2$ изображения точечного источника $S$ угол $\alpha = 30^\circ$ За какое время расстояние $AB$ увеличится на $\Delta d = 6$ см? Ответ приведите в [с] с округлением до десятых.

Дано: $V = 1$ см/с (источник движется вдоль биссектрисы угла между зеркалами, от вершины), $\alpha = 30^\circ$ (угол между каждым зеркалом и биссектрисой), $\Delta d = 6$ см. Найти: время $t$ за которое $AB$ вырастет на $\Delta d$ ответ в с, до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как разбегаются изображения в двух зеркалах

Как скорость роста расстояния AB и искомое время зависят от угла α между зеркалом и биссектрисой, от скорости V и от требуемого прироста Δd? Зависит ли ответ от начального расстояния до вершины?

Скорость источника V, см/сУгол α к биссектрисе, °Требуемый прирост Δd, смНачальное расстояние OS, смХод демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель берёт формулу AB = 2·OS·sin 2α как заданную (она доказана в шагах 1–2), а положения A и B в анимации строятся по ней, а не независимым отражением; анимация иллюстрирует зависимость, но не заменяет доказательство.

Попробуйте сами: отметьте вершину угла $O$ и постройте изображение $S$ в одном зеркале как точку, симметричную $S$ относительно прямой зеркала. Сравните расстояния $OS$ и $OA$ и подумайте, под каким углом к биссектрисе лежит луч $OA$ После этого расстояние $AB$ выразится через $OS$ одной формулой, а дальше останется только кинематика.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Плоское зеркало даёт изображение, симметричное источнику относительно плоскости зеркала. Прямая зеркала проходит через вершину угла $O$ поэтому при отражении точка $O$ остаётся на месте, а расстояние до неё сохраняется: $OA = OB = OS$ Смотрите не на отрезки $SA$ и $SB$ а на треугольник $OAB$

Подсказка 2

Начните с зеркала $З_1$ Луч $OS$ образует с ним угол $\alpha$ а при симметрии относительно зеркала угол между лучом и зеркалом сохраняется — меняется только сторона. Под каким углом к биссектрисе тогда лежит луч $OA$ Сделайте то же для $З_2$ и найдите угол $AOB$ — он и определит длину $AB$

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Где находятся изображения

Изображение точечного источника в плоском зеркале — точка, симметричная источнику относительно прямой зеркала. Обозначим вершину угла между зеркалами $O$ и расстояние $OS = r$ Прямая каждого зеркала проходит через $O$ поэтому при симметрии точка $O$ не сдвигается, а расстояния до неё не меняются:

OA = OB = OS = r.

Это ключевое наблюдение: оба изображения лежат на окружности радиуса $r$ с центром в вершине $O$ (Изображения $A$ и $B$ — ближайшие к зеркалам, то есть однократные; изображения «изображений» нас не интересуют.)

Шаг 2. Угол между лучами $OA$ и $OB$ и длина $AB$

Луч $OS$ идёт вдоль биссектрисы и составляет с зеркалом $З_1$ угол $\alpha$ При симметрии относительно $З_1$ луч $OS$ переходит в луч $OA$ лежащий по другую сторону зеркала под тем же углом $\alpha$ к нему. Поэтому луч $OA$ отклонён от биссектрисы на $\alpha + \alpha = 2\alpha$ влево; аналогично $OB$ отклонён на $2\alpha$ вправо. Итого

\angle AOB = 4\alpha = 120^\circ.

Треугольник $OAB$ равнобедренный с боковыми сторонами $r$ и углом при вершине $4\alpha$ Опустив из $O$ высоту на $AB$ (она же биссектриса угла $AOB$ и делит $AB$ пополам), в каждом из двух прямоугольных треугольников получаем половину основания $r\sin\dfrac{4\alpha}{2}$ то есть

AB = 2\,r\sin\frac{4\alpha}{2} = 2r\sin 2\alpha.

При $\alpha = 30^\circ$ $AB = 2r\sin 60^\circ = r\sqrt{3}$ .

Построение: A и B симметричны S относительно зеркал (красные пунктирные перпендикуляры), OA = OB = OS = r, лучи OA и OB отклонены от биссектрисы на 2α; треугольник OAB равнобедренный с углом 4α при вершине, AB = 2r·sin 2α.

Шаг 3. Как $AB$ зависит от времени

Источник движется вдоль биссектрисы от вершины со скоростью $V$ значит $r$ растёт равномерно: $r(t) = r_0 + Vt$ Подставляем в формулу шага 2:

AB(t) = 2\sin 2\alpha\,(r_0 + Vt) = AB_0 + 2V\sin 2\alpha\cdot t.

Расстояние $AB$ растёт линейно, причём начальное положение $r_0$ в приращение не входит — в задаче оно и не дано. Прирост за время $t$

\Delta d = 2V\sin 2\alpha\cdot t.

Физически это значит: каждое изображение удаляется от вершины вдоль своего луча с той же скоростью $V$ а расстояние между ними меняется со скоростью $2V\sin 2\alpha$ — так же, как расстояние между двумя точками, разбегающимися из $O$ под углом $4\alpha$

Два состояния: за время t источник сместился на V·t вдоль биссектрисы, каждое изображение — на V·t вдоль своего луча (серые направляющие под углом 2α к биссектрисе); отрезок AB вырос до A′B′ = AB + Δd.

Шаг 4. Ответ в общем виде и числом

Из уравнения шага 3

t = \frac{\Delta d}{2V\sin 2\alpha}.

Подставляем $\Delta d = 6$ см, $V = 1$ см/с, $\sin 2\alpha = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

t = \frac{6}{2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt3}{2}} = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3 \approx 3{,}464\ \text{с}.

С округлением до десятых: $t \approx 3{,}5$ с.

Проверка

Размерность: $\dfrac{\text{см}}{\text{см/с}} = \text{с}$ — верно.

Предельные случаи. При $\alpha \to 0$ зеркала сливаются в одно, изображения $A$ и $B$ совпадают, $AB \equiv 0$ и $t \to \infty$ — формула это даёт, потому что $\sin 2\alpha \to 0$ При $\alpha = 45^\circ$ зеркала перпендикулярны, $\angle AOB = 180^\circ$ точки $A$ $O$ $B$ лежат на одной прямой и $AB = 2r$ — формула даёт то же:

2r\sin 90^\circ = 2r.

Второй способ (координаты). Поместим $O$ в начало, биссектрису направим вдоль оси $y$ тогда $S = (0,\ r)$ а зеркало $З_1$ направлено вдоль $(-\sin\alpha,\ \cos\alpha)$ . Отражение даёт

A = (-r\sin 2\alpha,\ r\cos 2\alpha),

B = (r\sin 2\alpha,\ r\cos 2\alpha),

откуда $AB = 2r\sin 2\alpha$ — то же самое.

Численно: $2\sqrt3 = 3{,}464\ldots$ округление до десятых даёт $3{,}5$

Ответ

$t = \dfrac{\Delta d}{2V\sin 2\alpha} = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3 \approx 3{,}5\ \text{с}$

Главная идея

Изображения в зеркалах, проходящих через общую точку $O$ лежат на окружности радиуса $OS$ с центром $O$ Угол между лучами $OA$ и $OB$ равен $4\alpha$ — удвоенному углу между зеркалами — и от положения источника не зависит. Поэтому $AB = 2\,OS\sin 2\alpha$ и растёт со скоростью $2V\sin 2\alpha$

Если два плоских зеркала образуют угол с вершиной $O$ и спрашивают про расстояние между изображениями или их движение — ищите равнобедренный треугольник с вершиной $O$ $OA = OB = OS$ а угол $AOB$ равен удвоенному углу между зеркалами. Скорость изменения расстояния между двумя точками, разбегающимися из одной вершины под углом $\varphi$ с одинаковыми скоростями $V$ равна $2V\sin\dfrac{\varphi}{2}$

Где легко ошибиться

Считать, что $A$ $S$ и $B$ лежат на одной прямой, и складывать отрезки (расстояние от источника до изображения — удвоенное расстояние до зеркала):

SA + SB = 4r\sin\alpha,

SA + SB = 2r \quad \text{при } \alpha = 30^\circ.

Тогда скорость роста $AB$ выходит $2V$ и ответ $t = 3$ с. На самом деле отрезки $SA$ и $SB$ перпендикулярны разным зеркалам и образуют угол $180^\circ - 2\alpha = 120^\circ$ , а не $180^\circ$ Правильная геометрия — через треугольник $OAB$ с углом $4\alpha$ при вершине.

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 6.1 (ID 6049).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Отражение и изображение · Нужна школьная база

Плоское зеркало
Синус угла
Скорость изменения расстояния

Приёмы решения: Закон отражения · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →