Физтех 2026/27 · Физика · 9 кл., №7 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Электрическая цепь, схема которой представлена на рисунке к задаче, подключена к источнику постоянного напряжения. Сопротивления резисторов $R_1 = R$ $R_2 = 2R$ $R_3 = 3R$ На сопротивлении $R_2$ рассеивается мощность $P = 18$ Вт. Какую мощность развивают силы в источнике? В ответе укажите целое число [Вт].

Дано: $R_1 = R$ $R_2 = 2R$ $R_3 = 3R$ (само $R$ неизвестно и не требуется); мощность на $R_2$ $P = 18$ Вт. Схема: $R_1$ последовательно с параллельно соединёнными $R_2$ и $R_3$ клеммы источника внизу. Найти: мощность источника $P_{\text{ист}}$ целое число ватт.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как делится мощность между резисторами и источником

Меняйте мощность на R₂ и отношения R₂/R₁ и R₃/R₁ (здесь R₁ = R). Как при этом меняются мощности на R₁, R₃ и мощность источника? Почему ответ не зависит от самого R?

Мощность на R₂, P, ВтОтношение R₂/R₁Отношение R₃/R₁

Модель загружается…

Модель предполагает выведенные в решении формулы и идеальный источник; картинка со стрелками иллюстрирует деление токов, а не доказывает его.

Попробуйте сами: сопротивление $R$ не дано, но ответ от него не зависит. Решите, какая величина общая у $R_2$ и $R_3$ и выразите через данную мощность $P$ всё остальное — на это уйдёт три-четыре строки.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Резисторы $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно, значит, на них одно и то же напряжение $U$ Мощность на $R_2$ задана, поэтому $U$ (точнее, $U^2$ ) можно выразить через $P$ и $R$ Дальше токи в ветвях найдутся по закону Ома, а мощность идеального источника равна сумме мощностей на всех резисторах (закон сохранения энергии) или, что то же самое, $I^2 R_{\text{общ}}$

Подсказка 2

Запишите $P = \dfrac{U^2}{R_2} = \dfrac{U^2}{2R}$ , откуда $U^2 = 2RP$ Через $U$ найдите токи ветвей по закону Ома; ток через $R_1$ — их сумма (правило узлов).

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Читаем схему: где последовательно, где параллельно

Проследим путь тока от одной клеммы к другой. Весь ток, вышедший из источника, проходит через $R_1$ затем в узле разделяется на две ветви — $R_2$ (верхняя) и $R_3$ (нижняя), которые снова сходятся в правом узле. Значит, $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно, а $R_1$ — последовательно с этим участком.

Что из этого следует: у параллельных ветвей одно и то же напряжение $U$ а через $R_1$ течёт сумма токов ветвей. Именно напряжение $U$ удобно взять за «мостик» между данной мощностью $P$ и всем остальным, потому что мощность на $R_2$ выражается через $U$ напрямую.

Шаг 2. Из мощности на $R_2$ находим $U^2$ и токи ветвей

Для резистора мощность можно записать тремя способами: $P = UI = I^2R = \dfrac{U^2}{R}$ . Для $R_2$ мы знаем сопротивление и хотим найти напряжение, поэтому берём третью форму:

P = \dfrac{U^2}{R_2} = \dfrac{U^2}{2R},

откуда

U^2 = 2RP.

По закону Ома токи в ветвях:

I_2 = \dfrac{U}{2R}, \qquad I_3 = \dfrac{U}{3R} = \dfrac{2}{3}\,I_2.

Токи делятся обратно пропорционально сопротивлениям: через $R_3$ ток в полтора раза меньше. Обозначим $I_2 = I$ тогда $I_3 = \dfrac{2I}{3}$ а $P = I^2 \cdot 2R$ то есть $I^2 R = \dfrac{P}{2}$ — это соотношение пригодится дальше.

Шаг 3. Мощности на $R_3$ и на $R_1$ через $P$

На $R_3$ то же напряжение $U$ поэтому

P_3 = \dfrac{U^2}{3R} = \dfrac{2RP}{3R} = \dfrac{2}{3}P.

Через $R_1$ течёт суммарный ток (правило узлов):

I_1 = I_2 + I_3 = I + \dfrac{2I}{3} = \dfrac{5I}{3}.

Мощность на $R_1$ ищем через ток, ведь именно ток для $R_1$ мы знаем:

P_1 = I_1^2 R_1 = \left(\dfrac{5I}{3}\right)^2 R = \dfrac{25}{9}\,I^2R.

Подставляем $I^2R = \dfrac{P}{2}$ из шага 2:

P_1 = \dfrac{25}{9}\cdot\dfrac{P}{2} = \dfrac{25}{18}P.

Заметьте: ни в одной формуле не осталось $R$ — оно сократилось, как и должно быть, раз его не дали.

Токи и мощности в цепи, выраженные через ток

I

ветви

R_2

и данную мощность

P = 18

Вт. В узле токи складываются: через

R_1

течёт

\dfrac{5I}{3}

На параллельных ветвях одно напряжение

U

(синий пунктир между узлами); толщина красной стрелки отражает силу тока.

Шаг 4. Мощность источника — сумма мощностей на резисторах

Источник постоянного напряжения в условии идеальный (внутреннее сопротивление не задано), поэтому вся мощность, которую развивают силы в источнике, выделяется на трёх резисторах — это закон сохранения энергии для цепи:

P_{\text{ист}} = P_1 + P_2 + P_3 = \dfrac{25}{18}P + P + \dfrac{2}{3}P,

P_{\text{ист}} = \dfrac{25 + 18 + 12}{18}P = \dfrac{55}{18}P.

Подставляем $P = 18$ Вт:

P_{\text{ист}} = \dfrac{55}{18}\cdot 18\ \text{Вт} = 55\ \text{Вт}.

Число целое, округлять нечего. Ответ: $55$ Вт.

Проверка

Проверка вторым способом — через общее сопротивление цепи:

R_{23} = \dfrac{2R\cdot 3R}{2R + 3R} = \dfrac{6R}{5}, \qquad R_{\text{общ}} = R + \dfrac{6R}{5} = \dfrac{11R}{5}.

Мощность источника равна $I_1^2 R_{\text{общ}}$ где $I_1^2 = \dfrac{25}{9}I^2$ и $I^2R = \dfrac{P}{2}$

P_{\text{ист}} = \dfrac{25}{9}\cdot\dfrac{P}{2}\cdot\dfrac{11}{5} = \dfrac{55}{18}P = 55\ \text{Вт}.

Совпало. Размерность: $P_{\text{ист}}$ есть безразмерное число, умноженное на мощность $P$ то есть ватты. Предельный случай: если убрать ветвь $R_3$ (устремить $R_3 \to \infty$ ), то $P_3 \to 0$ $I_1 = I_2$ и $P_1 = I^2R = \dfrac{P}{2}$ ; формула даёт $P_{\text{ист}} \to \dfrac{3}{2}P = 27$ Вт, что меньше 55 Вт — логично, ведь параллельная ветвь добавляет свою мощность и увеличивает ток через $R_1$ Численная проверка (произвольные $R = 0{,}5$ $1$ $7{,}3$ Ом) даёт $P_1 = 25$ Вт, $P_3 = 12$ Вт, $P_{\text{ист}} = 55{,}0$ Вт при любом $R$

Ответ

55 Вт

Главная идея

У параллельных ветвей общее напряжение, у последовательного участка — общий ток. Одна заданная мощность фиксирует напряжение на параллельном участке, через него выражаются все токи и мощности, а неизвестное $R$ сокращается. Мощность идеального источника — сумма мощностей на всех резисторах.

Дана мощность (или ток, или напряжение) на одном резисторе смешанной цепи, сопротивления заданы только через общий множитель $R$ спрашивают мощность всей цепи или источника. Приём: не искать $R$ а выражать все величины через данную мощность — ответ получится как $P$ умноженное на число, которое зависит только от отношений сопротивлений.

Где легко ошибиться

Считать, что через $R_1$ течёт тот же ток, что и через $R_2$ забыв про ветвь $R_3$ Тогда $P_1 = I^2R = P/2 = 9$ Вт и «ответ» $9 + 18 + 12 = 39$ Вт. На самом деле в узле токи складываются: $I_1 = I_2 + I_3 = \dfrac{5}{3}I_2$ , и мощность на $R_1$ больше в $\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}$ раза — 25 Вт, а не 9 Вт. Родственная ошибка — принять напряжение источника равным напряжению на $R_2$ и считать $P_{\text{ист}} = U^2/R_{\text{общ}}$ : это теряет падение напряжения на $R_1$

Источник и авторство

Физтех · физика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 7.1 (ID 6053).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Закон Ома
Мощность тока
Соединение резисторов

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →