Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

В электрической цепи (см. рис.) все элементы идеальные, ключ разомкнут, конденсатор заряжен до некоторого напряжения, полярность которого представлена на рисунке. $L_1 = 13$ мГн, $L_2 = 17$ мГн, $C = 7$ мкФ.

Через какое время после замыкания ключа модуль напряжения на конденсаторе впервые окажется максимальным при обратной полярности на обкладках? Ответ приведите в [мс] с округлением до сотых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Диод включает вторую катушку не сразу. Разбей процесс на этапы: пока диод заперт и после того, как он открылся. Ниже можно сверить ответ в миллисекундах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКолебательный контур с диодом

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Колебательный контур с диодом

Когда напряжение на конденсаторе впервые станет наибольшим по модулю с обратной полярностью?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: четверть периода с L₁, затем четверть периода с L₁L₂/(L₁ + L₂).

Подсказка 1

При начальной полярности диод заперт — это обычный контур $L_1C$ Через четверть периода конденсатор разряжен, а ток в $L_1$ максимален: $I_0 = U_0\sqrt{C/L_1}$

Подсказка 2

Дальше напряжение меняет знак, диод открывается, и $L_2$ оказывается параллельно $L_1$ Ток через $L_1$ продолжается непрерывно, ток через $L_2$ начинается с нуля. Для суммарного тока это контур с индуктивностью $L_1L_2/(L_1 + L_2)$

Разобрать решение по шагам

Этап 1: диод заперт

Пока на верхней обкладке плюс, диод включён в запирающем направлении, и ток течёт только через $L_1$ Это контур с периодом $2\pi\sqrt{L_1C}$ напряжение $u = U_0\cos\omega_1 t$ ток $i_1 = I_0\sin\omega_1 t$ За четверть периода

t_1 = \frac{\pi}{2}\sqrt{L_1C} = \frac{\pi}{2}\sqrt{13\cdot 10^{-3}\cdot 7\cdot 10^{-6}} = 0{,}474\ \text{мс}

конденсатор разряжается полностью, а в $L_1$ течёт наибольший ток $I_0 = U_0\sqrt{C/L_1}$

Этап 2: диод открыт, катушки параллельно

Дальше ток $I_0$ перезаряжает конденсатор в обратной полярности; как только напряжение меняет знак, диод открывается, и к $L_1$ параллельно подключается $L_2$ Напряжение на обеих катушках одно и то же: $L_1\dot i_1 = L_2\dot i_2 = u$ , при этом $i_1$ непрерывен ( $= I_0$ в момент открытия), а $i_2$ начинается с нуля. Для суммарного тока $i = i_1 + i_2$ получаем $\dot i = u/L_1 + u/L_2 = u/L^*$ с

L^* = \frac{L_1L_2}{L_1 + L_2} = 7{,}37\ \text{мГн}.

Это снова колебательный контур, и $i = I_0\cos\omega^*(t - t_1)$ , $\omega^* = 1/\sqrt{L^*C}$

Момент обратного максимума

Модуль напряжения на конденсаторе наибольший, когда ток через него равен нулю, то есть через ещё четверть периода нового контура:

t_2 = \frac{\pi}{2}\sqrt{L^*C} = 0{,}357\ \text{мс},\qquad t = t_1 + t_2 = 0{,}831 \approx 0{,}83\ \text{мс}.

Напряжение при этом меньше начального: $|U| = U_0\sqrt{L^*/L_1} = 0{,}75\,U_0$ , потому что в катушках остались токи $i_1 = -i_2 = I_0L_1/(L_1 + L_2)$ , циркулирующие по контуру $L_1$ – $L_2$

Проверка

Независимо: уравнения цепи проинтегрированы по времени с шагом $10$ нс, диодная ветвь включается при обратном напряжении, момент максимума найден по обращению полного тока в нуль (review/calc/p11r2.py): $0{,}8306$ мс. Проверка энергии при максимуме: $\frac{1}{2}CU^2 + \frac{1}{2}(L_1 + L_2)i_1^2 = \frac{1}{2}CU_0^2$ — сходится. Другие версии: ID 6309 ( $13$ $17$ мГн, $9$ мкФ) — $0{,}94$ мс; ID 6310 ( $15$ $19$ мГн, $10$ мкФ) — $1{,}06$ мс; ID 6311 ( $17$ $21$ мГн, $11$ мкФ) — $1{,}18$ мс.

Ответ

$t = \dfrac{\pi}{2}\Big(\sqrt{L_1C} + \sqrt{\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\,C}\Big) \approx 0{,}83$ мс.

Ответ

$t = \dfrac{\pi}{2}\Big(\sqrt{L_1C} + \sqrt{\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\,C}\Big) \approx 0{,}83$ мс.

Главная идея

Диод делит процесс на два этапа с разными индуктивностями: четверть периода с L₁ и четверть периода с L₁ ∥ L₂, причём ток через L₁ при переключении непрерывен.

Идеальный диод в LC-цепи — ищи момент смены полярности, когда он переключается, и склеивай два колебательных режима по непрерывным токам катушек.

Где легко ошибиться

Считать, что L₂ работает с самого начала; брать на втором этапе период с L₁ + L₂ вместо параллельного соединения; искать максимум напряжения не по нулю суммарного тока.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 9, версия с ID 6308 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6309, 6310, 6311) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 26) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Механические колебания →

Тема, знания и приёмы

Механические колебания · Продвинутая подготовка

Колебательный контур: период, фазы энергии
Идеальный диод
Непрерывность тока через катушку

Приёмы решения: Разбор случаев · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →