Физика · 11 класс · второй тур

Концы однородного стержня длиной $L = 60$ см, свободно скользящего по гладкому горизонтальному столу, в некоторый момент времени имеют скорости относительно стола, модули которых равны $V_1 = 1$ м/с и $V_2 = 0{,}5$ м/с. Векторы этих скоростей антипараллельны и направлены перпендикулярно стержню.

Найдите радиус кривизны траектории конца стержня, движущегося относительно стола в этот момент времени со скоростью $V_1$. Ответ приведите в [см] с округлением до целого числа.

Материальная точка совершает периодическое движение по дуге окружности. При этом скорость точки в крайних положениях равна нулю, а модуль полного ускорения точки всё время остаётся постоянным и не равным нулю.

Найдите угол между радиус-векторами, проведёнными из центра окружности в положения точки на дуге окружности, где модуль скорости точки составляет $30\,\%$ от модуля её максимальной скорости. Ответ приведите в градусах и округлите до целого числа.

Клин с углом при основании $\alpha = 40^\circ$ скользит по гладкой горизонтальной плоскости неподвижного стола. В начальный момент времени клин движется поступательно со скоростью $V_0 = 2{,}1$ м/с (см. рис.), а на его гладкой наклонной плоскости находится маленькая шайба, покоящаяся относительно клина в этот момент времени.

Определите радиус кривизны траектории шайбы в системе отсчёта, связанной со столом, в момент времени, когда шайба меняет направление движения по горизонтальной оси относительно стола на противоположное. Ответ приведите в метрах с округлением до десятых. Отношение массы шайбы к массе клина равно $1/6$. Длина наклонной поверхности клина достаточна, чтобы шайба не сошла с него до момента смены направления движения. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Однородный буй имеет форму вертикального цилиндра радиусом $R = 0{,}5$ м и высотой $H = 0{,}4$ м, завершённого сверху конусом такой же высоты и радиуса основания. Буй плавает, погрузившись в воду только цилиндрической частью (так, что вода не доходит до конуса). Минимальная работа, которую необходимо затратить, чтобы извлечь буй из воды, равна $44{,}7$ Дж.

Найдите расстояние $|z_{\text{М}} - z_{\text{ЦМ}}|$ между метацентром буя и его центром масс. Ответ приведите в [см] с округлением до десятых. Плотность воды $1000$ кг/м³, $g = 10$ м/с².

Примечание: метацентр — точка пересечения оси симметрии плавающего тела с линией действия силы Архимеда при малом наклонении. Для буя указанной формы при погружении только цилиндрической части координата метацентра, отсчитанная от нижнего основания: $z_{\text{М}} = \dfrac{h}{2} + \dfrac{R^2}{4h}$, где $h$ — глубина погружения. Центр масс однородного конуса находится на его оси на расстоянии $H/4$ от основания.

Длинная вертикальная пробирка сечением $1$ см² и высотой $100$ см снизу на небольшую высоту заполнена водой. В открытом состоянии у поверхности воды относительная влажность составляет $100\,\%$, а у открытого конца пробирки относительная влажность поддерживается равной $20\,\%$. Давление у открытого конца пробирки — атмосферное. Температура $t = 70\,^\circ$C внутри и вне пробирки одинакова и поддерживается постоянной. Пробирку плотно закрывают крышкой.

Какая минимальная масса воды должна находиться на дне пробирки к моменту закрытия, чтобы после установления равновесия относительная влажность под крышкой стала равна $68\,\%$? Ответ приведите в [мг] с округлением до десятых. Считать, что в открытой пробирке установился стационарный диффузионный режим, конвекции нет. Давление насыщенного пара в условиях эксперимента $31{,}2$ кПа. Молярная масса воды $18$ г/моль. $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Пар и воздух считать идеальными газами.

Примечание: закон Фика для одномерной диффузии $j = -D\,\dfrac{dn}{dz}$ вдоль оси $z$, направленной вверх, где $j$ — плотность потока молекул воды, $D$ — коэффициент диффузии, $n$ — концентрация молекул воды. В стационарном режиме $\dfrac{dj}{dz} = 0$.

КПД тепловой машины с регенератором, в которой реализован прямой термодинамический цикл с одноатомным идеальным газом, состоящий из двух изотерм и двух политроп с одинаковой молярной теплоёмкостью $C > 0$, в $1{,}15$ раза меньше КПД такой же машины в предельном случае $100\,\%$ регенерации теплоты на политропах. Молярная теплота, полученная газом при изотермическом расширении, равна $6$ кДж/моль. Температура газа при изотермическом расширении равна $600$ К, а при изотермическом сжатии $300$ К. Доля регенерации теплоты в политропических процессах равна $0{,}8$.

Найдите молярную теплоёмкость газа в политропических процессах этого цикла. Ответ приведите в Дж/(моль·К) с точностью до целого числа.

Примечание: политропический процесс — процесс с постоянной теплоёмкостью. Регенератор — пассивный теплообменник: он не потребляет работу и не использует внешние источники теплоты, а лишь передаёт часть теплоты, отводимой от газа при политропическом сжатии, газу при политропическом расширении. Под КПД машины с регенератором понимается отношение работы за цикл к теплоте, подведённой от внешних источников.

Теплоизолированный сосуд (см. рис.) вначале разделён на три равные части длиной $1$ м. В частях 1 и 2 находится по $1$ моль одноатомного идеального газа при температуре $950$ К. Между частями 1 и 2 находится неподвижная герметичная перегородка. Часть 3 отделена от части 2 подвижным герметичным поршнем. Поршень соединён с торцевой стенкой части 3 недеформированной пружиной жёсткости $2496$ Н/м. Часть 3 сосуда откачана до высокого вакуума. Поршень удерживают, а затем отпускают.

Найдите конечную температуру содержимого сосуда после установления равновесия. Ответ приведите в [К] с округлением до целого числа. Теплоёмкостями перегородки и поршня, а также объёмом полости для пружины в стенке сосуда и массой поршня пренебречь. Поршень и перегородка проводят тепло. Пружину считать идеально упругой. $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К).

Электрическая цепь (см. рис.) состоит из идеального источника постоянного напряжения $U$, резистора $R$, ключа К и конденсатора переменной ёмкости $C(t)$, который до замыкания ключа не заряжен и обладает некоторой начальной ёмкостью $C_0$. В момент времени $t = 0$ ключ замыкают, а внешнее устройство с этого момента изменяет ёмкость конденсатора так, что электрический ток в цепи $I = \dfrac{U}{R}\Big(1 - \dfrac{t}{T}\Big)$ убывает линейно со временем $t$ и в некоторый момент $t = T$ обращается в нуль. За время от момента замыкания ключа до обращения тока в нуль на резисторе выделяется тепло $Q_R = \dfrac{C_0U^2}{3} = 4$ мДж.

Найдите работу внешнего устройства за это время. Ответ приведите в [мДж] с округлением до целого числа.

В электрической цепи (см. рис.) все элементы идеальные, ключ разомкнут, конденсатор заряжен до некоторого напряжения, полярность которого представлена на рисунке. $L_1 = 13$ мГн, $L_2 = 17$ мГн, $C = 7$ мкФ.

Через какое время после замыкания ключа модуль напряжения на конденсаторе впервые окажется максимальным при обратной полярности на обкладках? Ответ приведите в [мс] с округлением до сотых.

В электрической цепи (см. рис.) все элементы идеальные, ключ разомкнут, конденсатор заряжен до напряжения $U_0 = 100$ В, полярность которого представлена на рисунке. $L_1 = 10$ мГн, $L_2 = 20$ мГн, $L_3 = 30$ мГн, $C = 100$ мкФ.

Найдите силу электрического тока через катушку $L_3$ в тот момент времени, когда модуль напряжения на конденсаторе после замыкания ключа впервые окажется максимальным при обратной полярности на обкладках конденсатора. Ответ приведите в [А] с округлением до сотых.