Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Материальная точка совершает периодическое движение по дуге окружности. При этом скорость точки в крайних положениях равна нулю, а модуль полного ускорения точки всё время остаётся постоянным и не равным нулю.

Найдите угол между радиус-векторами, проведёнными из центра окружности в положения точки на дуге окружности, где модуль скорости точки составляет $30\,\%$ от модуля её максимальной скорости. Ответ приведите в градусах и округлите до целого числа.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Полное ускорение всё время одно и то же по модулю, но делится между нормальной и касательной частями по-разному. Попробуй связать $v^2$ с углом. Ниже можно сверить ответ в градусах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДвижение по дуге

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Движение по дуге

В каких двух точках дуги скорость равна заданной доле от наибольшей и какой угол между ними?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: a_n = v²/R, a_τ = (1/2)d(v²)/ds, и их квадраты дают постоянную сумму.

Подсказка 1

$a^2 = a_n^2 + a_\tau^2$ где $a_n = v^2/R$ В крайних точках $v = 0$ значит там $a_\tau = a$ в середине дуги $a_\tau = 0$ и $a = v_{\max}^2/R$

Подсказка 2

Запиши $a_\tau = \dfrac{dv}{dt} = v\dfrac{dv}{ds} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d(v^2)}{ds}$ и обозначь $u = v^2$ Получится уравнение на $u(s)$ которое решается синусом.

Разобрать решение по шагам

Уравнение на квадрат скорости

Пусть $A$ — постоянный модуль ускорения, $s$ — путь от крайней точки. Нормальное ускорение $a_n=v^2/R$ касательное $a_\tau=v\,dv/ds$ С заменой $w=v^2/(AR)$ и $\varphi=s/R$

a_n=Aw,\qquad a_\tau=\frac A2\frac{dw}{d\varphi},\qquad w^2+\frac14\left(\frac{dw}{d\varphi}\right)^2=1.

На участке разгона $dw/d\varphi=2\sqrt{1-w^2}$ . Отделяя переменные и учитывая $w=0$ при $\varphi=0$ получаем $\arcsin w=2\varphi$ то есть $w=\sin2\varphi$ до $w=1$ Максимальная скорость $v_{\max}=\sqrt{AR}$ достигается через угол $45^\circ$ от края.

В точке $w=1$ уравнение допускает и $dw/d\varphi=0$ на целом участке. Поэтому дальше требуется явно выбрать, есть ли участок равномерного движения с максимальной скоростью.

Скорость через угол от середины дуги

Для основного ответа выберем случай без конечного участка равномерного движения при $v=v_{\max}$ сразу за максимумом начинается замедление. Тогда правая половина зеркальна левой, до второго края ещё $45^\circ$ вся дуга равна $90^\circ$

Если $\psi$ — угол от середины такой дуги, то

v^2=v_{\max}^2\cos2\psi.

При движении к правому краю скорость убывает: касательное ускорение направлено обратно движению. На левой половине оно направлено к середине и разгоняет точку. Нормальная составляющая везде направлена к центру окружности.

Угол между радиус-векторами

В выбранном случае без равномерного участка $v=0{,}3v_{\max}$ означает $\cos2\psi=0{,}09$ Две точки симметричны относительно середины:

\gamma=2|\psi|=\arccos0{,}09=84{,}84^\circ\approx85^\circ.

Почему ответ условный. Между разгоном и замедлением можно вставить дугу длиной $\delta$ градусов, на которой $v=\sqrt{AR}$ постоянно. Там $a_\tau=0$ $a_n=A$ так что исходное требование к модулю ускорения сохраняется. На стыках ускорение непрерывно; у крайних точек скорость по-прежнему нулевая, движение можно периодически продолжить в обратную сторону.

Для такой короткой дуги угол между точками заданной доли скорости равен $\gamma=\arccos(p^2)+\delta$ (пока эта величина не превышает $180^\circ$ ). Например, при $\delta=10^\circ$ и $p=0{,}3$ получается $94{,}84^\circ\approx95^\circ$ , а не $85^\circ$ В буквальном условии запрета такого участка нет; единственного ответа без уточнения нет. Модель на странице исследует основной случай $\delta=0$

Проверка

Проверка основного случая: при $p=0{,}3$ угол $84{,}84^\circ$ ID6281 ( $55\%$ ) — $72{,}39\approx72^\circ$ ID6282 ( $75\%$ ) — $55{,}77\approx56^\circ$ ID6283 ( $90\%$ ) — $35{,}90\approx36^\circ$ Это ответы при явно выбранном $\delta=0$ Контрпример с $\delta=10^\circ$ даёт соответственно $95,82,66,46^\circ$ после округления, сохраняя постоянный модуль полного ускорения. Численная проверка одного решения не доказывает его единственность.

Ответ

Без конечного участка равномерного движения при максимальной скорости: $\gamma=\arccos(p^2)\approx85^\circ$ . Буквальное условие допускает другие углы; выбранное дополнительное предположение указано перед разбором.

Ответ

Главная идея

Разложить ускорение на нормальное и касательное, перейти к квадрату скорости как функции пути и отдельно проверить, единственно ли продолжение движения при максимальной скорости.

Дано ограничение на модуль полного ускорения при движении по дуге — раскладывай на a_n и a_τ и переходи к производной v² по пути.

Где легко ошибиться

Считать движение равнопеременным по дуге (a_τ = const); путать угол от середины ψ с углом между двумя симметричными положениями 2ψ.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 2, версия с ID 6280 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6281, 6282, 6283) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответ организатора соответствует одному из прочтений условия; прочтения разобраны («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗). Формула указаний верна для случая без конечного участка максимальной скорости. В официальном выводе рассматривается ненулевой du/dφ; исключённый случай допускает другие углы.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Продвинутая подготовка

Нормальное и касательное ускорения
a_τ = v·dv/ds
Производная и простейшее дифференциальное уравнение

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →