Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

В электрической цепи (см. рис.) все элементы идеальные, ключ разомкнут, конденсатор заряжен до напряжения $U_0 = 100$ В, полярность которого представлена на рисунке. $L_1 = 10$ мГн, $L_2 = 20$ мГн, $L_3 = 30$ мГн, $C = 100$ мкФ.

Найдите силу электрического тока через катушку $L_3$ в тот момент времени, когда модуль напряжения на конденсаторе после замыкания ключа впервые окажется максимальным при обратной полярности на обкладках конденсатора. Ответ приведите в [А] с округлением до сотых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Та же идея, что в задаче 9, но теперь вопрос о токах. Подумай, как убыль тока в $L_1$ после открытия диода связана с токами за диодом. Ниже можно сверить ответ в амперах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКонтур с диодом и двумя катушками

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Контур с диодом и двумя катушками

Какой ток течёт через L₃ в момент обратного максимума напряжения?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: I₀ = U₀√(C/L₁), затем L₁(I₀ − i₁) = L₂₃i₂₃ и i₁ = i₂₃ при максимуме.

Подсказка 1

Пока диод заперт, работает контур $L_1C$ за четверть периода ток в $L_1$ достигает $I_0 = U_0\sqrt{C/L_1}$ а конденсатор разряжен.

Подсказка 2

После открытия диода катушки $L_1$ и $L_{23} = L_2L_3/(L_2 + L_3)$ под одним напряжением: $L_1\,di_1 = L_{23}\,di_{23}$ . Проинтегрируй от момента открытия. Максимум $|u|$ — когда ток через конденсатор $i_1 - i_{23}$ равен нулю.

Разобрать решение по шагам

Ток в L₁ к моменту открытия диода

При начальной полярности диод заперт, и конденсатор разряжается через $L_1$ Через четверть периода напряжение нулевое, а ток в $L_1$ наибольший:

I_0 = U_0\sqrt{\frac{C}{L_1}} = 100\sqrt{\frac{100\cdot 10^{-6}}{10\cdot 10^{-3}}} = 10\ \text{А}.

Как делится ток после открытия диода

Когда напряжение меняет знак, диод открывается. Катушки $L_2$ и $L_3$ параллельны, их эквивалентная индуктивность $L_{23}=L_2L_3/(L_2+L_3)=12$ мГн.

Выберем $u$ как потенциал верхней обкладки относительно нижней. Ток $i_1$ считаем вниз через $L_1$ а $i_{23}$ — вверх через ветвь $L_2,L_3$ и затем через диод к конденсатору. Поэтому одно напряжение записывается с разными знаками:

u=L_1\frac{di_1}{dt}=-L_{23}\frac{di_{23}}{dt}.

В момент открытия $i_1=I_0$ $i_{23}=0$ Интегрирование даёт $L_1(i_1-I_0)=-L_{23}i_{23}$ , то есть

L_1(I_0-i_1)=L_{23}i_{23}.

Внутри параллельной пары оба тока $i_2,i_3$ направлены вверх и начинаются с нуля, так что $L_2i_2=L_3i_3$ До искомого обратного максимума $u<0$ $i_{23}$ растёт в разрешённом диодом направлении; выбранный режим физически допустим.

Момент обратного максимума

Модуль напряжения на конденсаторе максимален, когда ток через конденсатор равен нулю: $i_1 = i_{23}$ (ток $L_1$ целиком замыкается через ветвь диода). Тогда $L_1(I_0 - i_{23}) = L_{23}i_{23}$ :

i_{23} = I_0\frac{L_1}{L_1 + L_{23}} = 10\cdot\frac{10}{22} = 4{,}545\ \text{А},\qquad i_3 = i_{23}\frac{L_2}{L_2 + L_3} = 4{,}545\cdot\frac{20}{50} = 1{,}818 \approx 1{,}82\ \text{А}.

Проверка

Независимо: уравнения цепи проинтегрированы по времени с идеальным диодом, и ток через $L_3$ взят в момент обращения полного тока конденсатора в нуль (review/calc/p11r2.py): $1{,}8182$ А. Проверка: $L_2 i_2 = 20\cdot 2{,}727 = L_3 i_3 = 30\cdot 1{,}818$ ; энергия при максимуме $\frac{1}{2}CU^2 + \frac{1}{2}(L_1 i_1^2 + L_2 i_2^2 + L_3 i_3^2) = 0{,}5$ Дж — вся начальная. Другие версии: ID 6313 ( $125$ В; $12$ $22$ $33$ мГн; $90$ мкФ) — $2{,}06$ А; ID 6314 ( $130$ В; $14$ $24$ $36$ мГн; $110$ мкФ) — $2{,}27$ А; ID 6315 ( $145$ В; $18$ $28$ $42$ мГн; $130$ мкФ) — $2{,}55$ А.

Ответ

i_3 = U_0\sqrt{\dfrac{C}{L_1}}\cdot\dfrac{L_1}{L_1 + L_{23}}\cdot\dfrac{L_2}{L_2 + L_3} \approx 1{,}82

А, где $L_{23} = \dfrac{L_2L_3}{L_2 + L_3}$ .

Ответ

i_3 = U_0\sqrt{\dfrac{C}{L_1}}\cdot\dfrac{L_1}{L_1 + L_{23}}\cdot\dfrac{L_2}{L_2 + L_3} \approx 1{,}82

А, где $L_{23} = \dfrac{L_2L_3}{L_2 + L_3}$ .

Главная идея

Катушки под общим напряжением обмениваются токами обратно пропорционально индуктивностям (L·Δi одинаково), а максимум напряжения — момент нулевого тока через конденсатор.

Параллельные катушки после переключения — интегрируй L₁di₁ = L₂di₂ от момента включения; это «потокосцепление» делится как 1/L.

Где легко ошибиться

Считать, что в момент максимума токи катушек нулевые (нулевой только ток конденсатора); делить ток между L₂ и L₃ пропорционально индуктивностям, а не обратно.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 10, версия с ID 6312 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6313, 6314, 6315) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 28) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 4 ↗).

Продолжить тему: Механические колебания →

Тема, знания и приёмы

Механические колебания · Продвинутая подготовка

Колебательный контур и фазы энергии
ЭДС самоиндукции и параллельные катушки
Идеальный диод

Приёмы решения: Разбор случаев · Узлы и эквивалентная цепь

Задать вопрос по задаче →