Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Клин с углом при основании $\alpha = 40^\circ$ скользит по гладкой горизонтальной плоскости неподвижного стола. В начальный момент времени клин движется поступательно со скоростью $V_0 = 2{,}1$ м/с (см. рис.), а на его гладкой наклонной плоскости находится маленькая шайба, покоящаяся относительно клина в этот момент времени.

Определите радиус кривизны траектории шайбы в системе отсчёта, связанной со столом, в момент времени, когда шайба меняет направление движения по горизонтальной оси относительно стола на противоположное. Ответ приведите в метрах с округлением до десятых. Отношение массы шайбы к массе клина равно $1/6$ Длина наклонной поверхности клина достаточна, чтобы шайба не сошла с него до момента смены направления движения. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Все силы постоянны — значит постоянны и ускорения клина и шайбы. Найди ускорение шайбы относительно стола, а дальше это задача о параболе. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба на скользящем клине

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба на скользящем клине

Как изгибается траектория шайбы в тот момент, когда она перестаёт двигаться вперёд?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: найди постоянные ускорения клина и шайбы, затем момент v_x = 0 и R = v_y²/|a_x|.

Подсказка 1

Классическая связка: шайба скользит по гладкому клину, клин уезжает. Запиши второй закон Ньютона для клина (вдоль стола) и для шайбы (две оси) с одной силой реакции $N$ и условием, что шайба не отрывается от наклонной плоскости.

Подсказка 2

Ускорение шайбы относительно стола постоянно: $a_x = A - a\prime\cos\alpha$ , $a_y = -a\prime\sin\alpha$ В момент разворота горизонтальная скорость нулевая, скорость вертикальна — тогда нормальное ускорение равно $|a_x|$

Разобрать решение по шагам

Ускорения клина и шайбы

Пусть $\beta=m/M=1/6$ оси $x$ вправо, $y$ вверх. Клин ускоряется на $A$ вправо, шайба относительно клина — на $a'$ вниз вдоль наклона. Её лабораторные ускорения $a_x=A-a'\cos\alpha$ $a_y=-a'\sin\alpha$ Нормальная реакция клина на шайбу направлена вверх и влево. Второй закон Ньютона:

MA=N\sin\alpha,

m(A-a'\cos\alpha)=-N\sin\alpha,\qquad -ma'\sin\alpha=N\cos\alpha-mg.

Первые два равенства дают $(M+m)A=ma'\cos\alpha$ то есть $A=\beta a'\cos\alpha/(1+\beta)$ . Из вертикального уравнения $N=m(g-a'\sin\alpha)/\cos\alpha$ . Подставим это в уравнение клина и сократим $\beta$

\frac{a'\cos^2\alpha}{1+\beta}=g\sin\alpha-a'\sin^2\alpha.

Значит, $a'(1+\beta\sin^2\alpha)=(1+\beta)g\sin\alpha$ и

a'=\frac{(1+\beta)g\sin\alpha}{1+\beta\sin^2\alpha}=7{,}016\ \text{м/с}^2,

A=\frac{\beta g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\beta\sin^2\alpha}=0{,}768\ \text{м/с}^2.

При этом $N=mg\cos\alpha/(1+\beta\sin^2\alpha)>0$ : шайба не отрывается.

Движение шайбы относительно стола

В системе стола ускорение шайбы постоянно: $a_x = A - a\prime\cos\alpha = 0{,}768 - 5{,}375 = -4{,}607$ м/с² (назад), $a_y = -a\prime\sin\alpha = -4{,}510$ м/с² (вниз). Начальная скорость $V_0$ направлена вперёд, поэтому горизонтальная скорость $V_0 + a_x t$ обращается в нуль через

t^* = \frac{V_0}{|a_x|} = \frac{2{,}1}{4{,}607} = 0{,}456\ \text{с},\qquad v_y = a_y t^* = -2{,}056\ \text{м/с}.

В этот момент скорость шайбы вертикальна.

Радиус кривизны

Траектория при постоянном ускорении — парабола. Радиус кривизны $R = v^2/a_n$ где $a_n$ — составляющая ускорения, перпендикулярная скорости. Скорость вертикальна, значит $a_n = |a_x|$

R = \frac{v_y^2}{|a_x|} = \frac{2{,}056^2}{4{,}607} = 0{,}917\ \text{м} \approx 0{,}9\ \text{м}.

Проверка

Независимо: движение двух тел проинтегрировано по времени с силой реакции, находимой на каждом шаге из условия равенства ускорений поперёк наклонной плоскости; момент $v_x = 0$ найден, и радиус вычислен по трём близким точкам траектории (review/calc/p11r2.py): $0{,}9174$ м. Проверка: при $\beta \to 0$ клин едет равномерно, а шайба скатывается с $g\sin\alpha$ — формулы переходят в школьные. Другие версии: ID 6285 ( $45^\circ$ $2{,}15$ м/с, $1/7$ ) — $1{,}294 \approx 1{,}3$ м; ID 6286 ( $50^\circ$ $2$ м/с, $1/8$ ) — $1{,}567 \approx 1{,}6$ м; ID 6287 ( $55^\circ$ $1{,}87$ м/с, $1/9$ ) — $2{,}014 \approx 2{,}0$ м.

Ответ

$R = \dfrac{(a\prime\sin\alpha\cdot V_0)^2}{(a\prime\cos\alpha - A)^3} \approx 0{,}9$ м, где $A$ и $a\prime$ — ускорения клина и шайбы относительно клина.

Ответ

$R = \dfrac{(a\prime\sin\alpha\cdot V_0)^2}{(a\prime\cos\alpha - A)^3} \approx 0{,}9$ м, где $A$ и $a\prime$ — ускорения клина и шайбы относительно клина.

Главная идея

Силы постоянны → ускорение шайбы относительно стола постоянно → траектория парабола; в точке с вертикальной скоростью радиус кривизны равен v_y²/|a_x|.

Радиус кривизны при постоянном ускорении — ищи момент, когда скорость направлена вдоль одной оси, тогда нормальное ускорение — другая составляющая.

Где легко ошибиться

Считать клин неподвижным (a′ = g sin α); брать радиус кривизны по полному ускорению вместо его нормальной составляющей; забывать, что ускорение шайбы относительно стола включает A.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 3, версия с ID 6284 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6285, 6286, 6287) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Второй закон Ньютона для связанных тел
Относительное движение и переносное ускорение
Радиус кривизны параболы

Приёмы решения: Уравнение сил · Относительное движение · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →