Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Электрическая цепь (см. рис.) состоит из идеального источника постоянного напряжения $U$ резистора $R$ ключа К и конденсатора переменной ёмкости $C(t)$ который до замыкания ключа не заряжен и обладает некоторой начальной ёмкостью $C_0$ В момент времени $t = 0$ ключ замыкают, а внешнее устройство с этого момента изменяет ёмкость конденсатора так, что электрический ток в цепи $I = \dfrac{U}{R}\Big(1 - \dfrac{t}{T}\Big)$ убывает линейно со временем $t$ и в некоторый момент $t = T$ обращается в нуль. За время от момента замыкания ключа до обращения тока в нуль на резисторе выделяется тепло $Q_R = \dfrac{C_0U^2}{3} = 4$ мДж.

Найдите работу внешнего устройства за это время. Ответ приведите в [мДж] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Баланс энергии: работа источника плюс работа устройства равна теплу плюс энергии конденсатора. Три из четырёх слагаемых можно найти из закона $I(t)$ Ниже можно сверить ответ в миллиджоулях.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗарядка конденсатора переменной ёмкости

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Зарядка конденсатора переменной ёмкости

Какую работу совершило устройство, если известны тепло, работа источника и конечная энергия конденсатора?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: найди T из тепла, заряд как площадь, и вспомни, что при нулевом токе u_C = U.

Подсказка 1

Тепло $\int I^2R\,dt$ по линейному току даёт $U^2T/(3R)$ сравни с условием $Q_R = C_0U^2/3$ и найди $T$ Заряд, прошедший через источник, — площадь треугольника под $I(t)$

Подсказка 2

В момент $T$ ток нулевой, значит на резисторе нет падения напряжения и на конденсаторе ровно $U$ Зная заряд и напряжение, найди конечную ёмкость и энергию конденсатора.

Разобрать решение по шагам

Время процесса, заряд и работа источника

Тепло:

Q_R = \displaystyle\int_0^T I^2R\,dt = \frac{U^2}{R}\int_0^T\Big(1 - \frac{t}{T}\Big)^2 dt = \frac{U^2T}{3R}

. По условию $Q_R = C_0U^2/3$ значит $T = RC_0$ Заряд, прошедший через источник, — площадь треугольника под графиком тока: $q = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{U}{R}\cdot T = \dfrac{C_0U}{2}$ . Работа источника $A_{\text{ист}} = Uq = \dfrac{C_0U^2}{2} = \dfrac{3}{2}Q_R = 6$ мДж.

Состояние конденсатора в конце

При $t = T$ ток равен нулю, падение напряжения на резисторе нулевое, и напряжение на конденсаторе равно $U$ Его заряд $q = C_0U/2$ значит ёмкость стала $C(T) = q/U = C_0/2$ — устройство, например, раздвинуло пластины вдвое. Энергия конденсатора

W_C = \frac{q^2}{2C(T)} = \frac{C_0^2U^2/4}{C_0} = \frac{C_0U^2}{4} = \frac{3}{4}Q_R = 3\ \text{мДж}.

Работа устройства из баланса энергии

A_{\text{ист}} + A_{\text{уст}} = Q_R + W_C\quad\Rightarrow\quad A_{\text{уст}} = \frac{C_0U^2}{3} + \frac{C_0U^2}{4} - \frac{C_0U^2}{2} = \frac{C_0U^2}{12} = \frac{Q_R}{4} = 1\ \text{мДж}.

Работа положительна: устройство раздвигает притягивающиеся пластины, совершая работу против электрических сил.

Проверка

Независимо: процесс просчитан по шагам (review/calc/p11r2.py): заряд из тока, напряжение $u_C = U - IR$ ёмкость $C = q/u_C$ и работа устройства просуммирована как $\dfrac{q^2}{2C^2}(-dC)$ — работа против силы притяжения пластин при фиксированном заряде на каждом шаге: $1{,}000$ мДж. Проверка знака и пропорций: $6 + 1 = 4 + 3$ Другие версии (ответ всегда $Q_R/4$ ): ID 6305 ( $8$ мДж) — $2$ ID 6306 ( $12$ мДж) — $3$ ID 6307 ( $16$ мДж) — $4$ мДж.

Ответ

$A_{\text{уст}} = \dfrac{C_0U^2}{12} = \dfrac{Q_R}{4} = 1$ мДж.

Ответ

$A_{\text{уст}} = \dfrac{C_0U^2}{12} = \dfrac{Q_R}{4} = 1$ мДж.

Главная идея

Из закона тока находятся тепло, заряд и работа источника; в момент нулевого тока напряжение конденсатора равно U, что даёт его энергию; работа устройства замыкает баланс энергии.

Задан закон тока во времени и тепло — ищи T, заряд (площадь) и момент нулевого тока, где u_C = U.

Где легко ошибиться

Брать энергию конденсатора C₀U²/2 (ёмкость изменилась); забывать работу источника; считать работу устройства отрицательной.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 8, версия с ID 6304 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6305, 6306, 6307) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 22) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Продвинутая подготовка

Закон Джоуля — Ленца и интегрирование I²
Заряд как площадь под графиком тока
Энергия конденсатора и баланс энергии в цепи

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →