Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Концы однородного стержня длиной $L = 60$ см, свободно скользящего по гладкому горизонтальному столу, в некоторый момент времени имеют скорости относительно стола, модули которых равны $V_1 = 1$ м/с и $V_2 = 0{,}5$ м/с. Векторы этих скоростей антипараллельны и направлены перпендикулярно стержню.

Найдите радиус кривизны траектории конца стержня, движущегося относительно стола в этот момент времени со скоростью $V_1$ Ответ приведите в [см] с округлением до целого числа.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Радиус кривизны — это $R = V^2/a_n$ Скорость конца известна; осталось понять, какое у него ускорение и куда оно направлено. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтержень скользит по столу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Стержень скользит по столу

Какую окружность повторяет траектория конца стержня в момент, когда известны скорости концов?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: найди ω и ускорение конца относительно центра; оно перпендикулярно скорости конца.

Подсказка 1

Разложи движение стержня на движение центра и вращение вокруг него. Из скоростей концов найди угловую скорость $\omega$ и скорость центра. Что с ними происходит дальше на гладком столе?

Подсказка 2

Ускорение конца относительно стола — это ускорение центра плюс ускорение во вращении вокруг центра. Центр движется равномерно, $\omega$ постоянна. Куда направлено оставшееся ускорение — вдоль скорости конца или поперёк?

Разобрать решение по шагам

Угловая скорость и скорость центра

Скорости концов антипараллельны и перпендикулярны стержню, поэтому стержень вращается, а точка с нулевой скоростью лежит между концами. Относительно центра концы движутся со скоростями $\pm\omega L/2$ а сам центр — со скоростью $v_c$ Тогда $V_1 = v_c + \omega L/2$ $V_2 = \omega L/2 - v_c$ (знаки учтены по направлениям), откуда

\omega = \frac{V_1 + V_2}{L} = \frac{1{,}5}{0{,}6} = 2{,}5\ \text{рад/с},\qquad v_c = \frac{V_1 - V_2}{2} = 0{,}25\ \text{м/с}.

На гладком столе на стержень не действуют силы вдоль стола: центр движется равномерно, а $\omega$ не меняется.

Ускорение конца направлено вдоль стержня

Ускорение конца — сумма ускорения центра (нуль) и ускорения во вращении вокруг центра. Вращение равномерное, поэтому остаётся только центростремительная часть: $a = \omega^2 L/2 = 2{,}5^2\cdot 0{,}3 = 1{,}875$ м/с², направленная от конца к центру, то есть вдоль стержня. Скорость конца перпендикулярна стержню, значит всё это ускорение — нормальное.

Радиус кривизны

R = \frac{V_1^2}{a_n} = \frac{V_1^2}{\omega^2 L/2} = \frac{2V_1^2 L}{(V_1 + V_2)^2} = \frac{2\cdot 1\cdot 0{,}6}{2{,}25} = 0{,}533\ \text{м} \approx 53\ \text{см}.

Это не расстояние до мгновенной оси вращения ( $V_1/\omega = 40$ см): мгновенная ось сама движется, и траектория конца — не окружность вокруг неё, а удлинённая циклоида.

Проверка

Независимо: положение конца $\big(\tfrac{L}{2}\cos\omega t,\ v_c t + \tfrac{L}{2}\sin\omega t\big)$ посчитано в три близких момента и через них проведена окружность (review/calc/p11r2.py) — радиус $53{,}33$ см. Проверка размерности: м²/с² делить на м/с² — метры. Другие версии по $2V^2L/(V_1+V_2)^2$ ID 6277 ( $L = 80$ см, $V_1 = 1{,}5$ $V_2 = 1$ м/с, спрашивают конец $V_2$ ) — $25{,}6 \approx 26$ см; ID 6278 ( $120$ см, $2$ $0{,}5$ м/с, конец $V_1$ ) — $153{,}6 \approx 154$ см; ID 6279 ( $150$ см, $1{,}8$ $0{,}8$ м/с, конец $V_2$ ) — $28{,}4 \approx 28$ см.

Ответ

$R = \dfrac{2V_1^2 L}{(V_1 + V_2)^2} \approx 53$ см.

Ответ

$R = \dfrac{2V_1^2 L}{(V_1 + V_2)^2} \approx 53$ см.

Главная идея

Свободный стержень: центр движется равномерно, вращение равномерное, поэтому ускорение конца — только центростремительное относительно центра и перпендикулярно скорости конца.

Радиус кривизны точки твёрдого тела при известных скоростях — ищи ускорение точки через центр масс и вращение, не через мгновенную ось.

Где легко ошибиться

Брать расстояние до мгновенной оси вращения V/ω (даёт 40 см); забывать, что ускорение центра равно нулю только на гладком столе.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 1, версия с ID 6276 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6277, 6278, 6279) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Сложение движений: поступательное и вращательное
Центростремительное ускорение
Радиус кривизны через нормальное ускорение

Приёмы решения: Относительное движение · Поворот плоскости

Задать вопрос по задаче →