Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

КПД тепловой машины с регенератором, в которой реализован прямой термодинамический цикл с одноатомным идеальным газом, состоящий из двух изотерм и двух политроп с одинаковой молярной теплоёмкостью $C > 0$ в $1{,}15$ раза меньше КПД такой же машины в предельном случае $100\,\%$ регенерации теплоты на политропах. Молярная теплота, полученная газом при изотермическом расширении, равна $6$ кДж/моль. Температура газа при изотермическом расширении равна $600$ К, а при изотермическом сжатии $300$ К. Доля регенерации теплоты в политропических процессах равна $0{,}8$

Найдите молярную теплоёмкость газа в политропических процессах этого цикла. Ответ приведите в Дж/(моль·К) с точностью до целого числа.

Примечание: политропический процесс — процесс с постоянной теплоёмкостью. Регенератор — пассивный теплообменник: он не потребляет работу и не использует внешние источники теплоты, а лишь передаёт часть теплоты, отводимой от газа при политропическом сжатии, газу при политропическом расширении. Под КПД машины с регенератором понимается отношение работы за цикл к теплоте, подведённой от внешних источников.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Тепло на двух политропах одинаково по величине: $C(T_1 - T_2)$ отдаётся и столько же забирается. Регенератор возвращает часть этого тепла внутри машины. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЦикл с регенератором

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Цикл с регенератором

При какой теплоёмкости политроп неполная регенерация снижает КПД в заданное число раз?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: работа цикла Q₁(1 − T₂/T₁), внешнее тепло Q₁ + (1 − r)C(T₁ − T₂).

Подсказка 1

Политропы с одной теплоёмкостью между теми же температурами меняют энтропию газа на противоположные величины, поэтому за цикл $Q_1/T_1 = Q_2/T_2$ Найди работу цикла.

Подсказка 2

При полной регенерации извне берётся только $Q_1$ При доле $r$ извне приходится добавить $(1 - r)C(T_1 - T_2)$ на политропе расширения. Сравни два КПД.

Разобрать решение по шагам

Работа цикла не зависит от C

Цикл: изотерма $T_1$ (газ получает $Q_1 = 6000$ Дж/моль), политропа с теплоёмкостью $C$ от $T_1$ до $T_2$ (газ отдаёт $C(T_1 - T_2)$ ), изотерма $T_2$ (отдаёт $Q_2$ ), политропа от $T_2$ до $T_1$ (получает $C(T_1 - T_2)$ ). Изменение энтропии на политропе $\int C\,dT/T = C\ln(T_1/T_2)$ — на двух политропах оно противоположно и сокращается. Полное изменение энтропии за цикл нулевое, значит $Q_1/T_1 = Q_2/T_2$

Q_2 = Q_1\frac{T_2}{T_1} = 3000\ \text{Дж/моль},\qquad A = Q_1 - Q_2 = 3000\ \text{Дж/моль}.

Два КПД

При полной регенерации тепло политроп целиком передаётся внутри машины, и извне берётся только $Q_1$ $\eta_0 = A/Q_1 = 1 - T_2/T_1 = 50\,\%$ — КПД Карно. При доле регенерации $r = 0{,}8$ на политропе расширения регенератор даёт лишь $rC(T_1 - T_2)$ остальное $(1 - r)C(T_1 - T_2)$ берётся у внешнего источника:

\eta = \frac{A}{Q_1 + (1 - r)C(T_1 - T_2)} .

Теплоёмкость из отношения КПД

\frac{\eta_0}{\eta} = 1 + \frac{(1 - r)C(T_1 - T_2)}{Q_1} = 1{,}15\quad\Rightarrow\quad C = \frac{(1{,}15 - 1)\,Q_1}{(1 - r)(T_1 - T_2)} = \frac{0{,}15\cdot 6000}{0{,}2\cdot 300} = 15\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.

Это больше $C_V = 12{,}5$ Дж/(моль·К), но меньше $C_p = 20{,}8$ политропы идут между изохорой и изобарой, газ при расширении нагревается. Проверка: $\eta = 3000/(6000 + 0{,}2\cdot 4500) = 43{,}5\,\%$ , и $50/43{,}5 = 1{,}15$

Проверка

Независимо: цикл построен явно для пробной $C$ (изотерма с $Q_1$ политропа с численно интегрируемым изменением энтропии, замыкающая изотерма, обратная политропа), посчитаны оба КПД, и $C$ подобрана делением отрезка по заданному отношению (review/calc/p11r2.py): $15{,}0$ Проверка предельных случаев: при $r \to 1$ отношение $\to 1$ при любой $C$ при $C \to 0$ политропы становятся адиабатами — цикл Карно. Другие версии: ID 6297 ( $1{,}2$ $8{,}75$ кДж; $700/350$ К; $0{,}75$ ) — $20$ ID 6298 ( $1{,}3$ $10$ кДж; $800/400$ К; $0{,}7$ ) — $25$ ID 6299 ( $1{,}35$ $7{,}92$ кДж; $650/320$ К; $0{,}72$ ) — $30$ Дж/(моль·К).

Ответ

$C = \dfrac{(k - 1)\,Q_1}{(1 - r)(T_1 - T_2)} = 15$ Дж/(моль·К), где $k = 1{,}15$ — отношение КПД.

Ответ

$C = \dfrac{(k - 1)\,Q_1}{(1 - r)(T_1 - T_2)} = 15$ Дж/(моль·К), где $k = 1{,}15$ — отношение КПД.

Главная идея

Политропы с одной теплоёмкостью между теми же температурами взаимно компенсируют тепло и энтропию, поэтому работа цикла карно-подобная, а неполная регенерация лишь увеличивает тепло, взятое извне.

Цикл «две изотермы + два одинаковых процесса между теми же температурами» (Стирлинг, Эрикссон, политропный) — тепло на них равно и противоположно, Q₁/T₁ = Q₂/T₂.

Где легко ошибиться

Включать тепло политроп в работу цикла; считать, что регенератор меняет работу (он меняет только внешнее тепло); забывать (1 − r).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 6, версия с ID 6296 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6297, 6298, 6299) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Продвинутая подготовка

КПД тепловой машины
Теплоёмкость процесса и политропа
Энтропия или равносильное рассуждение о цикле Карно

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →