Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Длинная вертикальная пробирка сечением $1$ см² и высотой $100$ см снизу на небольшую высоту заполнена водой. В открытом состоянии у поверхности воды относительная влажность составляет $100\,\%$ а у открытого конца пробирки относительная влажность поддерживается равной $20\,\%$ Давление у открытого конца пробирки — атмосферное. Температура $t = 70\,^\circ$ C внутри и вне пробирки одинакова и поддерживается постоянной. Пробирку плотно закрывают крышкой.

Какая минимальная масса воды должна находиться на дне пробирки к моменту закрытия, чтобы после установления равновесия относительная влажность под крышкой стала равна $68\,\%$ Ответ приведите в [мг] с округлением до десятых. Считать, что в открытой пробирке установился стационарный диффузионный режим, конвекции нет. Давление насыщенного пара в условиях эксперимента $31{,}2$ кПа. Молярная масса воды $18$ г/моль. $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Пар и воздух считать идеальными газами.

Примечание: закон Фика для одномерной диффузии $j = -D\,\dfrac{dn}{dz}$ вдоль оси $z$ направленной вверх, где $j$ — плотность потока молекул воды, $D$ — коэффициент диффузии, $n$ — концентрация молекул воды. В стационарном режиме $\dfrac{dj}{dz} = 0$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Вопрос на самом деле про массу пара: сколько его в открытой пробирке и сколько должно стать под крышкой. Разницу даст вода со дна. Ниже можно сверить ответ в миллиграммах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПробирка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Пробирка

Сколько воды должно испариться, чтобы влажность под крышкой стала заданной?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: средняя влажность в открытой пробирке — полусумма 100 % и влажности наверху.

Подсказка 1

Стационарная диффузия: поток $j$ одинаков по высоте, значит $dn/dz$ постоянна и концентрация пара меняется с высотой линейно — от $100\,\%$ у воды до $20\,\%$ наверху. Какая тогда средняя влажность по столбу?

Подсказка 2

Плотность насыщенного пара $\rho_{\text{нас}} = p_{\text{нас}}M/(RT)$ . Масса пара в объёме $V$ при влажности $\varphi$ равна $\varphi\rho_{\text{нас}}V$ . Сравни начальную (со средней влажностью) и конечную массы.

Разобрать решение по шагам

Линейный профиль и масса пара в открытой пробирке

В стационарном режиме $dj/dz = 0$ а $j = -D\,dn/dz$ с постоянным $D$ — значит $dn/dz = \text{const}$ и концентрация пара линейна по высоте: влажность падает от $100\,\%$ у воды до $20\,\%$ у открытого конца. Средняя по столбу влажность $(100 + 20)/2 = 60\,\%$

Плотность насыщенного пара

\rho_{\text{нас}} = \dfrac{p_{\text{нас}}M}{RT} = \dfrac{31{,}2\cdot 10^3\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 343{,}15} = 0{,}1969

кг/м³; объём пробирки $V = 1\ \text{см}^2\cdot 100\ \text{см} = 100$ см³. Пара в ней $m_0 = 0{,}6\,\rho_{\text{нас}}V = 11{,}82$ мг.

Сколько пара нужно под крышкой

После закрытия пар и воздух перемешиваются (диффузия продолжается, пока концентрация не выровняется), влажность становится одинаковой и должна равняться $68\,\%$ $m_{\text{к}} = 0{,}68\,\rho_{\text{нас}}V = 13{,}39$ мг. Пара нужно больше, чем было, на

\Delta m = \rho_{\text{нас}}V\Big(0{,}68 - \frac{1 + 0{,}2}{2}\Big) = 0{,}1969\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}08\ \text{кг} = 1{,}576\ \text{мг}.

Минимальная масса воды

Добавка пара может взяться только из воды на дне. Поскольку требуемые $68\%$ меньше $100\%$ в конечном равновесии жидкой воды остаться не должно: иначе испарение продолжалось бы до насыщения. Для точных $68\%$ вся начальная вода должна испариться, и её масса однозначно равна $\Delta m\approx1{,}6$ мг.

Если воды меньше, итоговая влажность ниже $68\%$ Если больше, влажность будет выше $68\%$ вся вода продолжит испаряться, пока не закончится или пока пар не насытится. Только после достижения $100\%$ избыток жидкости может остаться на дне. Например, при исходных размерах $1$ см² и $100$ см добавка $2$ мг даст около $70{,}2\%$ а не те же $68\%$ Таким образом, слово «минимальная» не означает, что любая большая масса сохраняет заданную влажность.

Проверка

Независимо: начальная масса пара найдена численным интегрированием линейного профиля по высоте, затем вычтена из конечной (review/calc/p11r2.py): $1{,}5755$ мг. Проверка смысла: $68\,\% > 60\,\%$ поэтому воду действительно нужно добавить; при конечной влажности ниже $60\,\%$ задача не имела бы решения без удаления пара. Другие версии: ID 6293 ( $1{,}2$ см², $95$ см, $24\,\% \to 70\,\%$ ) — $1{,}80 \approx 1{,}8$ мг; ID 6294 ( $1{,}4$ см², $90$ см, $28\,\% \to 72\,\%$ ) — $1{,}99 \approx 2{,}0$ мг; ID 6295 ( $1{,}6$ см², $85$ см, $32\,\% \to 74{,}2\,\%$ ) — $2{,}20 \approx 2{,}2$ мг.

Ответ

m_{\min} = \dfrac{p_{\text{нас}}M}{RT}\,SH\Big(\varphi_{\text{к}} - \dfrac{1 + \varphi_{\text{в}}}{2}\Big) \approx 1{,}6

мг.

Ответ

m_{\min} = \dfrac{p_{\text{нас}}M}{RT}\,SH\Big(\varphi_{\text{к}} - \dfrac{1 + \varphi_{\text{в}}}{2}\Big) \approx 1{,}6

мг.

Главная идея

Стационарная диффузия даёт линейный профиль влажности со средним (1 + φ_в)/2; после закрытия влажность выравнивается, и недостающий пар испаряется из воды на дне.

Закон Фика и стационарный режим в условии — это подсказка, что концентрация линейна и среднее берётся как полусумма краёв.

Где легко ошибиться

Брать начальную влажность 100 % или 20 % вместо средней; забывать перевести объём в м³ и массу в мг; считать, что высота столбика воды влияет на объём (условие говорит «на небольшую высоту»).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 5, версия с ID 6292 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6293, 6294, 6295) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Начальный вход

Относительная влажность и давление насыщенного пара
Уравнение Менделеева — Клапейрона для пара
Линейная функция и её среднее значение

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →