Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородный буй имеет форму вертикального цилиндра радиусом $R = 0{,}5$ м и высотой $H = 0{,}4$ м, завершённого сверху конусом такой же высоты и радиуса основания. Буй плавает, погрузившись в воду только цилиндрической частью (так, что вода не доходит до конуса). Минимальная работа, которую необходимо затратить, чтобы извлечь буй из воды, равна $44{,}7$ Дж.

Найдите расстояние $|z_{\text{М}} - z_{\text{ЦМ}}|$ между метацентром буя и его центром масс. Ответ приведите в [см] с округлением до десятых. Плотность воды $1000$ кг/м³, $g = 10$ м/с².

Примечание: метацентр — точка пересечения оси симметрии плавающего тела с линией действия силы Архимеда при малом наклонении. Для буя указанной формы при погружении только цилиндрической части координата метацентра, отсчитанная от нижнего основания: $z_{\text{М}} = \dfrac{h}{2} + \dfrac{R^2}{4h}$ , где $h$ — глубина погружения. Центр масс однородного конуса находится на его оси на расстоянии $H/4$ от основания.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Формула метацентра дана — не хватает только глубины $h$ Её выдаёт работа подъёма: подумай, как меняется сила Архимеда, пока буй вытаскивают. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеБуй

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Буй

Какая глубина погружения даёт заданную работу подъёма и где тогда метацентр относительно центра масс?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: W = ρgSh²/2, дальше формула метацентра и центр масс 11H/16.

Подсказка 1

При подъёме на $x$ сила Архимеда равна $\rho g S(h - x)$ а вес постоянен и равен $\rho g S h$ (буй плавал). Минимальная работа — интеграл разности, то есть площадь треугольника.

Подсказка 2

Центр масс буя — среднее положений центров масс цилиндра ( $H/2$ ) и конуса ( $H + H/4$ ), взвешенное по объёмам $\pi R^2 H$ и $\pi R^2 H/3$

Разобрать решение по шагам

Глубина погружения из работы подъёма

Буй плавает: $mg = \rho g S h$ где $S = \pi R^2 = 0{,}7854$ м². Пока его медленно поднимают на $x$ нужна сила $mg - \rho g S(h - x) = \rho g S x$ , растущая от нуля до $mg$ Работа — площадь треугольника:

W = \frac{\rho g S h^2}{2}\quad\Rightarrow\quad h = \sqrt{\frac{2W}{\rho g \pi R^2}} = \sqrt{\frac{89{,}4}{7854}} = 0{,}1067\ \text{м}.

Условие выполнено: $h < H$ вода не доходит до конуса.

Метацентр и центр масс

По формуле условия $z_{\text{М}} = \dfrac{h}{2} + \dfrac{R^2}{4h} = 0{,}0533 + 0{,}5858 = 0{,}6392$ м. Центр масс: цилиндр объёма $V_1 = \pi R^2 H$ с центром на $H/2$ конус объёма $V_1/3$ с центром на $H + H/4 = 5H/4$

z_{\text{ЦМ}} = \frac{V_1\cdot H/2 + (V_1/3)\cdot 5H/4}{V_1 + V_1/3} = \frac{H/2 + 5H/12}{4/3} = \frac{11H}{16} = 0{,}275\ \text{м}.

Ответ

$|z_{\text{М}} - z_{\text{ЦМ}}| = 0{,}6392 - 0{,}275 = 0{,}364$ м $\approx 36{,}4$ см. Метацентр выше центра масс — такое плавание устойчиво: при наклоне сила Архимеда возвращает буй.

Проверка

Независимо: глубина найдена делением отрезка по численно проинтегрированной работе подъёма, а центр масс — суммированием тонких дисков тела (review/calc/p11r2.py): $36{,}415$ см. Проверка: масса буя $\rho S h = 83{,}8$ кг, работа $mgh/2 = 44{,}7$ Дж — сходится. Другие версии: ID 6289 ( $R = 0{,}55$ $H = 0{,}43$ м, $62{,}5$ Дж) — $42{,}1$ см; ID 6290 ( $0{,}6$ $0{,}46$ м, $85{,}1$ Дж) — $47{,}9$ см; ID 6291 ( $0{,}65$ $0{,}49$ м, $113{,}3$ Дж) — $53{,}7$ см.

Ответ

|z_{\text{М}} - z_{\text{ЦМ}}| = \Big|\dfrac{h}{2} + \dfrac{R^2}{4h} - \dfrac{11H}{16}\Big| \approx 36{,}4

см при $h = \sqrt{2W/(\rho g\pi R^2)}$ .

Ответ

|z_{\text{М}} - z_{\text{ЦМ}}| = \Big|\dfrac{h}{2} + \dfrac{R^2}{4h} - \dfrac{11H}{16}\Big| \approx 36{,}4

см при $h = \sqrt{2W/(\rho g\pi R^2)}$ .

Главная идея

Работа подъёма плавающего тела равна ρgSh²/2 (сила растёт линейно от нуля до веса), а центр масс составного тела — взвешенное по объёмам среднее.

Дана работа извлечения из воды — это площадь треугольника под графиком силы; дальше формулы условия.

Где легко ошибиться

Брать работу mgh (сила не постоянна — ответ вдвое больше); считать центр масс конуса на H/3 от основания (это для треугольника) или забывать взвешивать по объёмам.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 4, версия с ID 6288 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6289, 6290, 6291) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 11 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Жидкости и плавание →

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Закон Архимеда и плавание тел
Работа переменной силы как площадь
Центр масс составного тела

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →