Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

На тренировке по метанию мяча школьник бросает мяч под углом $\alpha$ к горизонту, $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}28$ . В процессе полета высота, на которой находится мяч, растет, достигает максимума, а затем убывает до нуля. В момент падения мяча на горизонтальную площадку вектор скорости мяча образует с горизонтом угол $\beta$ такой, что $\operatorname{tg}\beta = 0{,}45$ . Горизонтальное перемещение мяча за время полета $S = 26$ м.

На какой высоте над горизонтальной площадкой находится точка старта? Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Ответ приведите в [м] с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Скорость броска не дана. Что остаётся постоянным в полёте без сопротивления воздуха? В модели выбери высоту старта — модель сама подберёт скорость, чтобы мяч упал на расстоянии $S$ и покажет угол падения.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВысота и угол падения

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Высота и угол падения

Подбери высоту старта, чтобы мяч падал под углом из условия. Как угол падения зависит от высоты?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Выпиши вертикальные скорости в начале и в конце через горизонтальную скорость u.

Подсказка 1

Горизонтальная скорость $u$ постоянна. Тогда вертикальная скорость при броске $u\operatorname{tg}\alpha$ (вверх), при падении $u\operatorname{tg}\beta$ (вниз). Время полёта найди по изменению вертикальной скорости.

Подсказка 2

Время полёта $t = \dfrac{u(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{g}$ , а $S = ut$ — отсюда $u^2$ Высоту найди из $v_{\text{кон}}^2 - v_{\text{нач}}^2 = 2gH$ для вертикальной скорости.

Разобрать решение по шагам

Скорости в начале и в конце

Пусть $u$ — горизонтальная скорость мяча, она не меняется. Тогда вертикальная скорость при броске $u\operatorname{tg}\alpha$ направлена вверх, при падении $u\operatorname{tg}\beta$ — вниз.

Время полёта и скорость

Вертикальная скорость меняется на $g$ каждую секунду. От $u\operatorname{tg}\alpha$ вверх до $u\operatorname{tg}\beta$ вниз она меняется на $u(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)$ , значит, время полёта

t=\frac{u(\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta)}{g},\qquad S=ut=\frac{u^2(\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta)}{g}.

Отсюда $u^2=\dfrac{gS}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}$ .

Высота старта

Для вертикального движения $v_{\text{кон}}^2-v_{\text{нач}}^2=2gH$ (мяч опустился на $H$ ниже точки старта):

H=\frac{u^2(\operatorname{tg}^2\beta-\operatorname{tg}^2\alpha)}{2g}=\frac{S(\operatorname{tg}^2\beta-\operatorname{tg}^2\alpha)}{2(\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta)}=\frac{S(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)}{2}.

Подставляем: $H = \dfrac{26\cdot(0{,}45-0{,}28)}{2}=2{,}21$ м. С округлением до десятых: $2{,}2$ м.

Проверка

Красивая формула $\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}\alpha + \dfrac{2H}{S}$ : при $H = 0$ мяч падает под тем же углом, под которым брошен, — это известное свойство симметричной параболы. Числа: $u^2 = \dfrac{260}{0{,}73}\approx 356$ , $u\approx 18{,}9$ м/с, время $\approx 1{,}38$ с; моделирование полёта с этими данными даёт дальность $26$ м и $\operatorname{tg}\beta = 0{,}45$ .

Ответ

$H=\dfrac{S(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)}{2}\approx 2{,}2$ м.

Ответ

$H=\dfrac{S(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)}{2}\approx 2{,}2$ м.

Главная идея

В полёте без сопротивления горизонтальная скорость постоянна, поэтому углы задают вертикальные скорости в долях u. Неизвестная скорость сокращается.

Даны углы вылета и падения и дальность — выражай всё через горизонтальную скорость, она общая.

Где легко ошибиться

Считать время полёта как время подъёма, умноженное на два (это верно только при $H = 0$ ), или забыть, что в начале вертикальная скорость направлена вверх, а в конце — вниз.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 4852 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4853, 4854, 4855) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 16) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 2 попытка 2025», стр. 4 ↗: H + V₀sinα·T − gT²/2 = 0; gT = V₀cosα(tgα + tgβ); (V₀cosα)² = 2gH/(tg²β − tg²α); S = (V₀cosα)T = 2H/(tgβ − tgα); H = ½·S(tgβ − tgα)).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом
Равноускоренное движение: v² − v₀² = 2as
Тангенс угла

Приёмы решения: Координаты и проекции · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →