Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Скоростной поезд движется с постоянной скоростью по прямолинейному рельсовому пути. Два звукоприемника расположены вблизи пути, один впереди, другой позади поезда. Машинист подает звуковой сигнал. Первый приемник зарегистрировал звуковой сигнал длительностью $\tau_1 = 3{,}5$ с, второй приемник зарегистрировал звуковой сигнал длительностью $\tau_2 = 4{,}5$ с.

Найдите скорость поезда. Скорость звука в воздухе $C = 320$ м/с. Ответ приведите в [м/с] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Сколько длился сам гудок, в условии не сказано. Почему приёмники услышали разное время? В модели звук нарисован цветной полосой: посмотри, как её длина зависит от того, едет ли поезд.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗвук гудка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Звук гудка

Подбери скорость поезда и длительность гудка так, чтобы приёмники услышали столько же, сколько в условии.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй на бумаге, где окажутся начало и конец звука гудка через τ₀ секунд впереди и позади поезда.

Подсказка 1

Пусть гудок длился $\tau_0$ Начало и конец звука уходят от поезда со скоростью $C$ но конец испущен на $\tau_0$ позже и из точки, сдвинутой по ходу поезда на $v\tau_0$

Подсказка 2

Впереди длина «звуковой полосы» $(C - v)\tau_0$ позади — $(C + v)\tau_0$ Приёмник слышит её, пока она пролетает мимо со скоростью $C$ $\tau_1 = \tau_0\left(1 - \frac{v}{C}\right)$ , $\tau_2 = \tau_0\left(1 + \frac{v}{C}\right)$ . Раздели одно на другое или сложи и вычти.

Разобрать решение по шагам

Звук гудка — полоса в воздухе

Пусть машинист гудел время $\tau_0$ а поезд едет со скоростью $v$ Начало звука ушло в момент $0$ конец — в момент $\tau_0$ когда поезд уже проехал $v\tau_0$

Вперёд за время $\tau_0$ начало звука ушло на $C\tau_0$ а источник конца звука сам сдвинулся вперёд на $v\tau_0$ Поэтому впереди звук занимает отрезок длиной

(C - v)\tau_0.

Позади поезд отъезжает от звука, и отрезок длиннее: $(C + v)\tau_0$

Что слышат приёмники

Отрезок звука проходит мимо неподвижного приёмника со скоростью $C$ Приёмник слышит звук столько, сколько отрезок «пролетает» мимо него:

\tau_1=\frac{(C-v)\tau_0}{C}=\tau_0\left(1-\frac{v}{C}\right),\qquad \tau_2=\tau_0\left(1+\frac{v}{C}\right).

Исключаем неизвестную длительность гудка

Сложим и вычтем: $\tau_1+\tau_2=2\tau_0$ $\tau_2-\tau_1=2\tau_0\dfrac{v}{C}$ . Делим одно на другое — $\tau_0$ исчезает:

v=C\cdot\frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_2+\tau_1}=320\cdot\frac{4{,}5-3{,}5}{4{,}5+3{,}5}=320\cdot\frac{1}{8}=40\ \text{м/с}.

Проверка

Длительность гудка $\tau_0=\dfrac{3{,}5+4{,}5}{2}=4$ с. Впереди: $4\cdot\left(1-\dfrac{40}{320}\right)=3{,}5$ с; позади: $4\cdot\left(1+\dfrac{40}{320}\right)=4{,}5$ с — как в условии. Скорость $40$ м/с $=144$ км/ч — правдоподобно для скоростного поезда.

Ответ

$v=C\dfrac{\tau_2-\tau_1}{\tau_2+\tau_1}=40$ м/с.

Ответ

$v=C\dfrac{\tau_2-\tau_1}{\tau_2+\tau_1}=40$ м/с.

Главная идея

Сигнал конечной длительности от движущегося источника занимает в пространстве отрезок, «сжатый» впереди и «растянутый» позади. Неизвестную длительность сигнала исключают, сравнив двух наблюдателей.

Движущийся источник и неподвижные приёмники с разными временами — рисуй начало и конец сигнала как две точки, которые бегут со скоростью сигнала.

Где легко ошибиться

Считать, что гудок длился $\tau_1$ или $\tau_2$ или что разность $\tau_2-\tau_1$ — это время, за которое поезд что-то проехал. Длительность гудка не дана, её надо исключить.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 4828 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4829, 4830, 4831) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: L₁ = (C − V)τ, L₂ = (C + V)τ; τ₁ = L₁/C = (C − V)τ/C, τ₂ = L₂/C = (C + V)τ/C; τ₂/τ₁ = (C + V)/(C − V); V = (τ₂ − τ₁)/(τ₁ + τ₂)·C).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Равномерное движение
Скорость звука
Решение системы двух уравнений

Приёмы решения: Относительное движение · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →