Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Маршрут туристической группы состоит из двух участков, отношение длин этих участков $n = 3$ Туристы прошли маршрут без остановки. Скорость движения на коротком участке составляет $p = 62\%$ от средней скорости на всем маршруте. На каждом участке маршрута скорость движения туристической группы постоянна.

Найдите отношение времени движения туристов на длинном участке маршрута ко всему времени движения. Ответ представьте в виде десятичной дроби с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Ни длины маршрута, ни скоростей в условии нет — только отношения. Попробуй сам ввести удобные буквы. В модели можно выбрать скорость на длинном участке и посмотреть, когда скорость на коротком составит ровно 62 % от средней.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПуть и время

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Путь и время

Подбери скорость на длинном участке так, чтобы скорость на коротком составила p процентов от средней. Какую долю времени тогда занимает длинный участок?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми короткий участок 1 км и среднюю скорость 4 км/ч: найди всё время и время на коротком участке.

Подсказка 1

Обозначь длину короткого участка $L$ а среднюю скорость на всём маршруте $v$ Тогда длинный участок $3L$ а всё время $T$ легко выразить через $L$ и $v$

Подсказка 2

Обозначь $q = p/100 = 0{,}62$ Скорость на коротком участке $qv = 0{,}62v$ значит, его проходят за $t_1 = \dfrac{L}{qv}$ Найди, какую долю всего времени $T = \dfrac{4L}{v}$ составляет $t_1$ — на длинный участок остаётся остальное.

Разобрать решение по шагам

Вводим удобные обозначения

Пусть короткий участок имеет длину $L$ тогда длинный — $nL = 3L$ а весь маршрут — $4L$ Среднюю скорость на всём маршруте обозначим $v$ По определению средней скорости всё время движения

T=\frac{4L}{v}.

Время на коротком участке

Обозначим $q = \dfrac{p}{100} = 0{,}62$ — доля, которую скорость на коротком участке составляет от средней. Тогда эта скорость равна $qv = 0{,}62\,v$ поэтому

t_1=\frac{L}{qv}=\frac{L}{0{,}62\,v}.

Доля этого времени во всём времени:

\frac{t_1}{T}=\frac{L}{qv}\cdot\frac{v}{(n+1)L}=\frac{1}{q(n+1)}=\frac{1}{0{,}62\cdot 4}=\frac{1}{2{,}48}\approx 0{,}403.

Буквы $L$ и $v$ сократились — поэтому их и не дали в условии.

Время на длинном участке

На длинный участок приходится всё остальное время:

\frac{t_2}{T}=1-\frac{1}{q(n+1)}=1-\frac{1}{2{,}48}\approx 0{,}597.

С округлением до десятых: $0{,}6$

Проверка

Проверим на числах: $L = 1$ км, $v = 4$ км/ч. Весь маршрут $4$ км идут $1$ ч. На коротком участке скорость $2{,}48$ км/ч, он занимает $\dfrac{1}{2{,}48}\approx 0{,}403$ ч. На длинные $3$ км остаётся $\approx 0{,}597$ ч, скорость там $\approx 5{,}03$ км/ч. Средняя скорость $\dfrac{4}{1}=4$ км/ч, и $2{,}48$ — это действительно $62\%$ от $4$ Всё сходится.

Ответ

$\dfrac{t_2}{T}=1-\dfrac{1}{q(n+1)}\approx 0{,}6$ , где $q = p/100 = 0{,}62$

Ответ

$\dfrac{t_2}{T}=1-\dfrac{1}{q(n+1)}\approx 0{,}6$ , где $q = p/100 = 0{,}62$

Главная идея

Когда даны только отношения, вводят удобные буквы (длину участка и среднюю скорость). Они сокращаются, и ответ зависит только от данных отношений.

Если в задаче о средней скорости нет ни одного «настоящего» расстояния или времени, введи их буквами — ответ от них не зависит.

Где легко ошибиться

Считать, что доля времени равна доле пути: $\dfrac{3}{4}$ Это верно только при одинаковых скоростях. Ещё одна ошибка — путать «62 % от средней» с «на 62 % меньше средней».

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 4820 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4821, 4822, 4823) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: V = (nL + L)/(nL/V₁ + L/V₂) = (n + 1)V₁V₂/(V₁ + nV₂); V₂/V = (1/(n + 1))(1 + nV₂/V₁) = p%/100%; nV₂/V₁ = (n + 1)·p%/100% − 1; t₁/(t₁ + t₂) = 1/(1 + V₁/(nV₂)) = 1/[1 + 1/((n + 1)·p%/100% − 1)]).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Средняя скорость: весь путь, делённый на всё время
Путь = скорость × время
Проценты и доли

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →